1505. Un par de medias... RESOLUCIÓN

    Profe, mire. Todo número natural es igual al producto de la media aritmética y la media armónica de sus divisores, ¿verdad?

    Me detuve a ver si entendía la afirmación de Pepe Chapuzas... Si  N  era un número natural que tenía  n  divisores  a, b, c, d, ... , entonces...

¿    N = (a + b + c + d + ...) / n  ·  n / (1/a + 1/b + 1/c + 1/d + ...)    ?

o sea

¿    N = (a + b + c + d + ...) / (1/a + 1/b + 1/c + 1/d + ...)    ?

    ¿Qué pensáis?

SOLUCIÓN

    Mire, profe. Si  a, b, c, d, ... es la lista de divisores de  N  ordenados de menor a mayor entonces A = N/a, B = N/b, C = N/c, D = N/d  es la lista de divisores de  N  ordenados de mayor a menor... Por lo tanto  

1/a = A/N, 1/b = B/N, 1/c = C/N, 1/d = D/N, ...

y

A + B + C + D + ...= a + b + c + d + ...

    Entonces...

(a + b + c + d + ...) / (1/a + 1/b + 1/c + 1/d + ...)  =

=  (a + b + c + d + ...) / (A/N + B/N + C/N + D/N + ...)  =

=  (a + b + c + d + ...) / ((A + B + C + D + ...) / N ) =

=  (a + b + c + d + ...) / (a + b + c + d + ...) · N  =

=  N

    Nina Guindilla se llevó su positivo, pero no se quedó sin proponer lo siguiente:

    Mire. profe. Ahora entra en juego una tercera media... 
    La media geométrica de dos números es igual a la media geométrica de sus medias aritmética y armónica...
    El logaritmo de una media geométrica de varios números es la media aritmética de sus logaritmos...

    Parecían trabalenguas... Hay otro positivo esperando...

RESSOLUCIÓN

    Como no... Yoyó Peluso fue a por el positivo...

    Profe, mire:

√( (a+b)/2 · 2/(1/a+1/b) ) =

= √( (a+b) / ((a+b)/(a·b)) ) =

= √( (a+b) / (a+b) · a · b ) =

= √(a·b)

    Se podía haber dicho que el producto de dos números es igual al producto de sus medias aritmética y armónica. Por otro lado, el trabalenguas de los logaritmos se basa en las propiedades de estos:

log ⁿ√(a·b·c·d·...) = (log a + log b + log c + log d + ...) / n

    También se puede decir que la media armónica de varios números es el inverso de la media aritmética de sus inversos...