1501. Suma de arcotangentes (2ª parte). RESOLUCIÓN

    Este es el cálculo que propone Pepe Chapuzas para la próxima semana, teniendo en cuenta que los tres arcotangentes son ángulos agudos...
    ¡Ánimo, calculistas sin calculadora!

SOLUCIÓN

    Nina Guindilla partió de la fórmula de la tangente de la suma de tres ángulos (esta fórmula se puede obtener fácilmente a partir de la de la de la de dos ángulos):

tg (A+B+C) = ( tgA + tgB + tgC – tgA·tgB·tgC ) / ( 1 – tgA·tgB – tgA·tgC – tgB·tgC )

A+B+C = arctg ( ( tgA + tgB + tgC – tgA·tgB·tgC ) / ( 1 – tgA·tgB – tgA·tgC – tgB·tgC ) )

    Mire, profe. Si

A = arctg(1) ,  B = arctg(2)  y  C = arctg(3)

entonces...  

tgA = 1 ,  tgB = 2  y  tgC = 3

y tenemos...

arctg(1) + arctg(2) + arctg(3)  =  arctg ( (1+2+3–6)/(1–2–3–6) )  =  arctg (0) = 180º

ya que al ser  0º < A < 90º ,  0º < B < 90º  y  0º < C < 90º , entonces  0º < A+B+C < 270º .

    Nina había matado moscas a cañonazos... Con un matamoscas era suficiente...

RESOLUCIÓN

    Yoyo Peluso dividió un rectángulo de 2x3 cuadrados en triángulos de la siguiente manera

    Profe, mire. Los triángulos son triángulos rectángulos. Si los cuadraditos tienen lado 1, entonces

A = arctg(√5/√5) = arctg(1)

B = arctg(2/1) = arctg(2)

C = arctg(3/1) = arctg(3) 

    Por tanto

arctg(1) + arctg(2) + arctg(3)  =  A+B+C  =  180º .