695. Estrellitas de 5 puntas (2ª parte). RESOLUCIÓN

    Ya sabemos que Pepe Chapuzas es experto en fabricar estrellas irregulares de 5 puntas. ¿Qué pensará mientras las hace? Él mismo se delata:

    Mire, profe. Una cónica queda determinada por cinco puntos, ¿verdad? Pues, cada estrella de 5 puntas determina su cónica circunscrita, esto es, la que pasa por los 5 puntos de las puntas...
    Una cónica  z  tiene por ecuación implícita  z : Z(x, y) = 0 , donde  Z(x, y)  representa un polinomio de 2º grado. Por tanto

Z(x, y) = a x² + b xy + c y² + d x + e y + f 

y

z : a x² + b xy + c y² + d x + e y + f = 0

    Para calcular  a ,  b ,  c ,  d ,  e  y  f  a partir los de 5 puntos habría que sustituir  x  e  y  por las coordenadas de tales puntos en  Z(x, y) = 0 ... y así se obtendría un sistema homogéneo de 5 ecuaciones con 6 incógnitas... Pero solo de pensarlo... ¡Yuyu! ¿Habrá algún atajo?

    Pepe propuso los puntos A(0, 6), B(4, 5), C(2, 7), D(9, 3) y E(2, 1). Observa que algún número se repite... Pepe es así...
    Calcula la ecuación de la cónica... ¡A atajar!

SOLUCIÓN

    Atajar es una de las especialidades de Nina Guindilla...

    Profe, mire. Aparquemos de momento el punto E.
    Consideremos la rectas  

r : R(x, y) = 0  que pasa por A y por B,  

s : S(x, y) = 0  que pasa por C y por D, 

t : T(x, y) = 0  que pasa por A y por C  y

u : U(x, y) = 0  que pasa por B y por D.

    Calculemos los polinomios de primer grado R(x, y), S(x, y), T(x, y) y U(x, y)...

R(x, y) = (5–6)x + (0–4)y +  6·4 – 0·5 = – x – 4y + 24

S(x, y) = (3–7)x + (2–9)y + 7·9 – 2·3 = – 4x – 7y + 57

T(x, y) = (7–6)x + (0–2)y + 6·2 – 0·7 = x – 2y +12

U(x, y) = (3–5)x + (4–9)y + 5·9 – 4·3 = – 2x – 5y + 33

    El par de rectas r y s es una cónica degenerada  v : V(x, y) = 0  con

V(x, y) = R(x, y) · S(x, y) =  (– x – 4y + 24) · (– 4x – 7y + 57) =

= 4x² + 23xy + 28y² – 153x – 396y + 1368

    El par de rectas t y u es otra cónica degenerada  w : W(x, y) = 0  con

W(x, y) = T(x, y) · U(x, y) = (x – 2y +12) · (– 2x – 5y + 33) =

= – 2x² – xy + 10y² + 9x – 126y + 396

    Estas 2 cónicas degeneradas pasan por los puntos A, B, C y D... 
    Y ahora, por fin, le toca el turno al punto E... 
    La cónica  z : Z(x, y) = 0  con

Z(x, y) = W(2, 1) · V(x, y) – V(2, 1) · W(x, y) =

= 288 · (4x² + 23xy + 28y² – 153x – 396y + 1368) – 756 · (– 2x² – xy + 10y² + 9x – 126y + 396) =

= 2664x² + 7380xy + 504y²– 50868x – 18792y + 94608

pasa por los 5 puntos A, B, C, D y E porque las coordenadas de todos estos puntos satisfacen la ecuación de la cónica:

z : 2664x² + 7380xy + 504y²– 50868x – 18792y + 94608 = 0

    Nina prosiguió:

    Profe, mire. Además de la cónica circunscrita, la estrella de 5 puntas determina también una cónica inscrita, y además otra cónica que pasa por los 5 puntos dobles. ¿Habrá alguna otra estrella de 5 puntas que tenga la misma cónica circunscrita, la misma cónica inscrita y la misma cónica que pasa por los puntos dobles?

    Ahí queda la pregunta...

RESOLUCIÓN

    Si la pregunta de Nina parecía descabellada, la respuesta de Yoyó Peluso lo pareció aún más:

    Profe, según el porisma de Poncelet, hay infinitas estrellas de 5 puntas que comparten las 3 elipses. Y para muestra un botón:

    Para el lector queda averiguar qué tipos de cónicas pueden ser la circunscrita, la inscrita y la que pasa por los puntos dobles...