692. Los números abundantes. RESOLUCIÓN

    Estuve recordando en clase los números perfectos: aquellos números naturales que son iguales a la suma de sus partes alícuotas. Tuve que aclarar que "parte alícuota" era otra manera de decir "divisor propio". Tuve que poner ejemplos: 5 era una parte alícuota de 20 porque  20 : 5  era un número natural y además  5 < 20 ; 6 era un número perfecto porque coincidía con la suma de sus partes alícuotas, esto es,  6 = 1 + 2 + 3 ...
    Al día siguiente, Pepe Chapuzas siguió divagando sobre el tema:

    Mire, profe. Los números naturales que no son perfectos, o son deficientes, o son abundantes. Ello depende de si son mayores o menores que la suma de sus partes alícuotas... Así, 8, 9 y 10 son deficientes porque  8 > 1 + 2 + 4 = 7 ,  9 > 1 + 3 = 4  y  10 > 1 + 2 + 5 = 8 ; mientras que 12 es abundante porque  12 < 1 + 2 + 3 + 4 + 6 = 16 . Es más fácil para un número natural ser deficiente que abundante. (Y ser perfecto ya es toda una proeza...)

    Pepe escribió la lista de los primeros números abundantes:

12, 18, 20, 24, 30, 36, 40, 42, 48, 54, 56, 60, 66, 70, 72, 78, 80, 84, 88, 90, 96, 100 ...

    Y aparecieron las primeras cuestiones...

    Profe...
    ¿Hay números abundantes impares?
    ¿Cómo se demostraría que hay infinitos números abundantes e infinitos números deficientes?

    Trata de responder a Pepe sin consultar en Internet. 
 
SOLUCIÓN

    Nina Guindilla contestó la primera:

    Profe, mire. Si el número es muy grande y tiene muchos divisores es fácil equivocarse... Es mejor calcular entonces la suma de los divisores de un número a partir de su descomposición factorial. Si la factorización de  N  fuera

N = aⁱ · b^j · c^k · ...

la suma  s(N)  de todos sus divisores sería

s(N) = (1 + a + a² + a³ + ... + aⁱ) · (1 + b + b² + b³ + ... + b^j) · (1 + c + c² + c³ + ... + c^k) · ...

por lo que la suma de sus partes alícuotas será  s(N) – N . En los números abundantes se tiene que cumplir que  s(N) – N > N .

    Los divisores de los números impares son todos impares, el primer número abundante impar es 945.

945 = 3³ · 5 · 7

s(945) – 945  =  (1 + 3 + 9 + 27) · (1 + 5) · (1 + 7) – 945  =  40 · 6 · 8 – 945  =  975  >  945

    Para probar que hay infinitos números abundantes basta observar que todos los múltiplos propios de 6 lo son...

    Si  M > 1  y  N = 6M , entonces 1, M, 2M y 3M son divisores propios diferentes de N , por lo que s(N) – N  >  M + 2M + 3M  =  6M  =  N .

    Para probar que hay infinitos números deficientes basta observar que todos los números primos los son...

    Si  N  es primo, entonces  s(N) – N  =  1  <  N .

    Nina acababa de "descubrir" que 945 era abundante e impar pero que 944 y 946 eran deficientes:

944 = 2⁴ · 59

s(944) – 944 = (1 + 2 + 4 + 8 + 16) · (1 + 59) – 944 = 31 · 60 – 944 = 916  <  944

946 = 2 · 11 · 43

s(946) – 946 = (1 + 2) · (1 + 11) · (1 + 43) – 946 = 3 · 12 · 44 – 946 = 638  <  946

    ¿Habrá dos números abundantes consecutivos?

    ¿Habrá tres números abundantes consecutivos?

    ¿Habrá números abundantes que no sean múltiplos ni de 2 ni de 3?

RESOLUCIÓN

    Yoyó Peluso indagó e indagó...

    Mire, profe:

    Los dos primeros números abundantes consecutivos son 5775 y 5576.

    Los tres primeros números abundantes consecutivos son 171078830, 171078831 y 171078832.

    El primer número abundante que no es múltiplo ni de 2 ni de 3 es 5391411025.

    Yoyo se limitó a dar las descomposiciones factoriales:

5775  =  3 · 5² · 7 · 11

5776  =  2⁴ · 19²

171078830  =  2 · 5 · 13 · 23 · 29 · 1973

171078831  =  3³ · 7 · 11 · 19 · 61 · 71

171078832  =  2⁴ · 31 · 34491

5391411025  =  5² · 7 · 11 · 13 · 17 · 19 · 23 · 29

    El lector puede comprobar que son números abundantes...