993. La elipse del jardinero. RESOLUCIÓN

    Estábamos en el patio trazando una elipse con el método del jardinero... Habíamos clavado dos estacas en el suelo y atado a ellas los extremos de una cuerda. (La longitud de la cuerda era mayor que la distancia entre las estacas.) Y deslizábamos una tercera estaca a lo largo de la cuerda en tensión realizando un surco en el suelo: la elipse. En un cierto momento de este proceso Pepe Chapuzas gritó:

    ¡Alto! ¡La cuerda forma aquí un ángulo recto!

    Cuatro veces detuvo Pepe el trazado de la elipse para comentar lo mismo... Y debió de darle vueltas al asunto porque al regresar a clase insistió en ello:

    Profe, no en todas las elipses la cuerda tensada puede formar ángulos rectos, ¿verdad? Yo creo que esto depende de su excentricidad...

    Dejo que lo penséis. Contadme lo que averigüéis...

SOLUCIÓN

    ¡Claro que depende de la excentricidad!

    Exclamó Nina Guindilla... Oigamos lo que ha averiguado...

    Si en un punto de la elipse la cuerda tensa forma un ángulo de 90º, entonces ese punto también estará en el arco capaz de 90º del segmento que une los focos (que es la circunferencia que tiene como diámetro el segmento que une los focos). Si la elipse tiene poca excentricidad, la distancia focal será  tan pequeña que el arco capaz no cortará a la elipse. Si la elipse es muy excéntrica, habrá cuatro puntos de intersección como descubrió Pepe Chapuzas...

    Si el arco capaz fuera tangente a la elipse (en los vértices del eje menor) la excentricidad de la elipse sería √2/2, ¿verdad? Por lo tanto, si la excentricidad de la elipse es menor, en ningún momento la cuerda tensa forma un ángulo de 90º. Si la excentricidad es justamente √2/2, el ángulo es de 90º en dos puntos. Y si la excentricidad es mayor, son cuatro los puntos de la elipse donde la cuerda se tensa en ángulo recto.

    Comprueba que, efectivamente, la excentricidad es √2/2.

RESOLUCIÓN

    Mire, profe. Si la semidistancia focal c es igual al semieje menor b, entonces el eje mayor medirá a = √(b²+c²) = √(2c²) = √2·c, y por lo tanto la excentricidad será c/a = c/(√2·c) = √2/2.

    Yoyó Peluso remató la faena...