987. ¡A optimizar! RESOLUCIÓN

    Pepe Chapuzas ha propuesto dos ejercicios de optimización. Uno de minimizar y otro de maximizar:

    Calcula las dimensiones de la pirámide de menor volumen circunscrita a un cubo de lado 10cm.

    Una esfera roja está inscrita en un cono que a su vez está inscrito en una esfera de radio 10cm. ¿Cuáles deben ser las dimensiones del cono para que la esfera roja sea lo más grande posible?

    Resuelve los dos ejercicios. Hay dos positivos esperándote...

SOLUCIÓN

    Mire, profe. La parte es semejante al todo... Quiero decir que la pirámide pequeña que corona el cubo es semejante a la pirámide grande, por lo que sus alturas serán proporcionales a los lados de las bases: (h–10)/h = 10/l, o sea, l = 10h/(h–10). Por otro lado, el volumen de la pirámide es V = l²·h/3, así que...

V(h) = 100h³/(h–10)²/3

V'(h) = (300h²·(h–10)² – 2(h–10)·100h³)/(h–10)⁴/3 = 100h²(h–30)/(h–10)³/3

    Como h > 10, el único valor crítico es h = 30. Para valores menores la derivada es negativa y para valores mayores es positiva, por lo que se trata del volumen mínimo.

h = 30cm

l = 10·30/20 = 15cm

V = 15²·30/3 = 2250cm³

    ¡Profe, la altura de la pirámide es el triple de la altura del cubo!

    Nina Guindilla consiguió la pirámide, ahora va a por el cono...

    Profe, mire. Con el teorema de la altura en el triángulo lila tengo r² = h(20–h) =20h – h², y con el teorema del cateto obtengo que g² = 20h. Por otro lado, como los triángulos azul y rosa son proporcionales, (g–r)/s = h/r, o sea...  

s = (g–r)r/h = (gr–r²)/h = (√(20h²(20–h) – h(20–h))/h = √(400–20h)–20+h

    Voy a optimizar el radio de la esfera s(h) = √(400–20h)–20+h. Derivando y anulando la derivada...

s'(h) = –10/√(400–20h) + 1

–10/√(400–20h) + 1 = 0

10/√(400–20h) = 1

√(400–20h) = 10

400–20h = 100

20h = 300

h = 15

    El valor crítico es h = 15cm. Para valores mayores la derivada es negativa y para valores menores es positiva, por lo que la esfera es máxima.

h = 15cm

r = √(15·5) = 8,66cm

g = √(20·15) = 17,32cm

s = 15·5/15 = 5cm

    ¡Profe, el radio de la esfera pequeña es la mitad del radio de la esfera grande!

    En las mismas condiciones, optimiza el área lateral de la pirámide.

RESOLUCIÓN

    Yoyó Peluso tenía que minimizar el área lateral de la pirámide, que era igual al semiperímetro de la base por la apotema de la pirámide.

    Profe, mire. El semiperímetro de la base de la pirámide mide 2l = 20h/(h–10) y la apotema de la pirámide mide √(h² +l²/4) = √(h²+25h²/(h–10)²) = √((h⁴–20h³+125h²)/(h–10)²), por lo que el área lateral mide 20√((h⁶–20h⁵+125h⁴)/(h–10)⁴). Es más fácil optimizar solo el radicando, cuya derivada respecto de h es...

( (6h⁵–100h⁴+500h³)(h–10)⁴ – (h⁶–20h⁵+125h⁴)4(h–10)³ ) / (h–10)⁸ =
= (6h⁶–100h⁵+500h⁴–60h⁵+1000h⁴–5000h³–4h⁶+80h⁵–500h⁴) / (h–10)⁵ =
= 2h³ (h³ –40h²+500h–2500) / (h–10)⁵.

    Llegado a este punto, Yoyó dedujo que los únicos puntos críticos interesantes eran las soluciones de la ecuación h³–40h²+500h–2500 = 0. Después de desesperarse buscando soluciones enteras con la regla de Ruffini, Yoyó Peluso tuvo que emplear toda la artillería matemática... Menos mal que había estado calculando raíces de polinomios de tercer grado en un taller de Mates...

    Mire, profe. Si hacemos el cambio h = Z+40/3 eliminamos el término de segundo grado:

(Z+40/3)³ – 40(Z+40/3)² + 500(Z+40/3) – 2500 = 0

Z³ + 40Z² + 1600Z/3 + 64000/27 – 40Z²– 3200Z/3 – 64000/9 + 500Z + 20000/3 – 2500 = 0

27Z³ – 900Z – 15500 = 0

    Ahora hacemos el cambio Z = U+V

27U³ + 27V³+ 81UV(U+V) – 900(U+V) – 15500 = 0

27U³ + 27V³+ 81UV(U+V) = 15500 + 900(U+V)

     Si igualamos 27U³ + 27V³ = 15500, entonces tenemos que (3U)³ + (3V)³ = 15500, y si igualamos 81UV = 900, resulta que (3U)(3V) = 100 y  (3U)³(3V)³ = 1000000. O lo que es lo mismo, (3U)³ y (3V)³ son las soluciones de la ecuación w² – 15500W + 1000000 = 0. Esto es:

(3U)³ = 7750+7685,213 = 15435,213 de donde U = 8,299

(3V)³ = 7750–7685,213 = 64,787 de donde V = 1,339

    Solo queda deshacer los cambios Z = 8,299+1,339 = 9,638 y h = 9,638+40/3 = 22,97cm. No hay más soluciones reales de h porque (h³–40h²+500h–2500) / (h–22,97) = h²–17,03h–108,82 tiene discriminante 17,03²– 4·108,82 = –145,26 negativo... Así, l = 229,7/12,97  = 17,71 cm. Finalmente, el área lateral es 2·17,71·√(22,97²+17,71²/4) = 839,61cm².