978. Un octágono mixtilíneo. RESOLUCIÓN

    Profe, mire. Este círculo y este cuadrado tienen dos cosas en común: tienen el mismo centro (son concéntricos) y tienen la misma área (1 metro cuadrado). La intersección (en verde) es un octágono con 4 lados rectos y 4 lados curvos: es mixtilíneo... ¿Cuánto miden el área y el perímetro de este octágono mixtilíneo?

    Aquí tenéis el reto que Pepe Chapuzas ha propuesto para el fin de semana...

SOLUCIÓN

    Mire, profe. Si el cuadrado y el círculo tienen la misma área (1 metro cuadrado), entonces el cuadrado tiene 1 metro de lado y el círculo tiene 1/√π metros de radio.

    Con el teorema de Pitágoras calculo el lado recto b = 2·√(1/π–1/4) = 0,522723. Como el ángulo β = 2·arccos (√π/2) = 55º11'39", entonces α = 90º – β = 34º48'21". Ello nos permite calcular el lado curvo a=α·1/2·π/180 = 0,303738. Por tanto, el perímetro del octágono mide 4a+4b = 3,305844 metros. Finalmente, con el área del triángulo azul B = b·1/2/2 = 0,130681 y la del sector amarillo A = π·1/4·α/360 = 0,075934, calculo el área del octágono mixtilíneo será 4A + 4B = 0,826480 metros cuadrados.

    Justifica todos los cálculos de Nina Guindilla. 
    Calcula el área de cada pieza roja.

RESOLUCIÓN

    Un cáculo sencillo para Yoyó Peluso...

    Mire, profe. Hay dos tipos de piezas rojas: triángulos mixtilíneos y segmentos circulares... Ambos tienen la misma área: (1–0,826480)/4 = 0,04338 metros cuadrados.