975. Las combinaciones con repetición. RESOLUCIÓN

    Habíamos explicado las combinaciones ordinarias y habíamos visto su relación con los coeficientes binomiales y el triángulo de Pascal... Vimos algunas propiedades e hicimos una tabla de valores de M sobre N.

    Al terminar la explicación comenté que este curso no íbamos a ver las combinaciones con repetición porque no estaban en el temario... A Pepe Chapuzas le debió de disgustar esto y debió de investigar lo que eran las combinaciones con repetición por su cuenta ya que al día siguiente trajo lo siguiente:

    Profe, mire: he encontrado una propiedad de las combinaciones con repetición similar a una que vimos ayer de las combinaciones ordinarias... Además me he dado cuenta de que, a diferencia de las combinaciones ordinarias que formaban en la tabla de valores un triángulo porque N era menor o igual que M (el triángulo de Pascal), en las combinaciones con repetición N puede ser mayor que M y en una tabla de valores no se formaría un triángulo sino un rectángulo (o un cuadrado)... 

    Pepe casi se quedó sin respiración... A partir de entonces denominé a ese rectángulo el rectángulo de Chapuzas...

    Investiga qué relación hay entre las combinaciones con repetición y las combinaciones ordinarias...
    Comprueba la propiedad que ha encontrado Pepe...
    Rellena el rectángulo de Chapuzas...

SOLUCIÓN

    Profe... He encontrado la relación entre combinaciones con repetición y combinaciones ordinarias.

    Con esto es muy fácil demostrar la propiedad de Pepe...

    Y rellenar su rectángulo...

    Da una demostración de la relación entre combinaciones con repetición y combinaciones ordinarias...

RESOLUCIÓN

    A veces con un ejemplo se entiende una relación mejor que con una demostración... Ya habrá tiempo para generalizar... Esto es lo que ha hecho Yoyó Peluso...

    Mire, profe. Voy a escribir la combinaciones con repetición de 4 elementos (a, b, c, d) tomados de 3 en 3. Son 20... y como no importa el orden... las podemos ordenar alfabéticamente...

aaa aab aac aad abb abc abd acc acd add bbb bbc bbd bcc bcd bdd ccc ccd cdd ddd

    Se podrían escribir así:

a12 ab1 ac1 ad1 ab2 abc abd ac2 acd ad2 b12 bc1 bd1 bc2 bcd bd2 c12 cd1 cd2 d12

    Donde el 1 significa que se repite la primera letra y el 2, que se repite la última... Ahora son combinaciones ordinarias de 5 elementos (a, b, c, 1, 2) tomados de 3 en 3. Esto concuerda con la relación de Nina... y se puede generalizar fácilmente...