970. Intersecciones imaginarias... RESOLUCIÓN

    Cada alumno tenía que preparar un tema y explicarlo en clase. Pepe Chapuzas eligió la potencia de un punto respecto de una circunferencia... Y la definió de la siguiente manera:

    Sea P un punto y C una circunferencia. Sea R cualquier recta que pase por P y sean A y B los puntos de intersección de la recta R y la circunferencia C. La potencia del punto P respecto de la circunferencia C es el producto escalar de los vectores PA y PB.

    Demostró que la potencia así definida era independiente de la recta elegida... Solo indiqué un problema en su exposición: no todas las rectas que pasaban por el punto P cortaban a la circunferencia C... Pepe, por no reconocer su leve error, comentó que, en caso de no cortarse realmente, habría puntos de intersección con coordenadas complejas imaginarias y que, seguramente, su definición de potencia seguiría siendo válida...

    Una auténtica chapuza... De todos modos comprueba si es cierto lo que ha conjeturado Pepe...
(No se pide ninguna demostración. Basta con elegir cualquier circunferencia, cualquier punto exterior y cualquier recta que pase por el punto y no corte a la circunferencia.)

SOLUCIÓN

    Nina Guindilla tomó la circunferencia C de centro O(0,0) y radio 1, y el punto P(2,0). Después tomó la recta R: y=0 que pasaba por P que cortaba a la circunferencia C en los puntos A(–1,0) y B(1,0). Así pudo calcular fácilmente la potencia PA·PB = (–3,0)·(–1,0) = 3. Veamos cómo siguió...

    Profe, mire. La recta S: x=2 pasa por P(2,0) y no corta a C. Con la ecuación de C: x² + y² = 1, si intento calcular las coordenadas de los inexistentes puntos de intersección de S y de C tengo: 2² + y² = 1, y² = –3, y las soluciones y = √3i, y = –√3i. Así A(2,√3i) y B(2,–√3i) y la potencia sería PA·PB = (0,√3i)·(0,–√3i) = –3i² = (–3)·(–1) = 3.

    Comprueba que con la circunferencia C y el punto P de Nina y la recta T: y=x–2 pasa lo mismo...
    Demuestra que, si hay dos intersecciones (recta secante), la potencia no depende de la recta elegida. Comprueba que, si hay una intersección (recta tangente), la potencia sigue valiendo lo mismo...

RESOLUCIÓN

    Mire, profe. La recta y=x–2 pasa por el punto P(2,0) y no corta a C...

x² + y² = 1

x² + (x–2)² = 1

x² + x² – 4x + 4 = 1

2x² – 4x + 3 = 0

    Los puntos de intersección imaginarios son A(1+1/√2i,–1+1/√2i) y B(1–1/√2i,–1–1/√2i), por lo que la potencia sería PA·PB = (–1+1/√2i,–1+1/√2i)·(–1–1/√2i,–1–1/√2i) = 1+1/2+1+1/2 = 3.

    Yoyó Peluso hizo un par de dibujos...

    Profe, mire. Basta con observar qué triángulos son semejantes... y la proporcionalidad de sus lados nos asegura que la potencia es independiente de la recta escogida...