663. El triángulo pedal u órtico. RESOLUCIÓN

    Mis alumnos tenían que exponer una definición geométrica en clase y Pepe Chapuzas trajo la definición de triángulo órtico...

    Dado un triángulo no rectángulo (negro), los pies de sus alturas (azules) son los vértices de otro triángulo denominado órtico (rojo). También se denomina triángulo pedal (a secas)... pero esto crea confusión, porque el triángulo pedal de un punto respecto de un triángulo dado queda determinado por las proyecciones perpendiculares del punto sobre los lados o sus prolongaciones. El triángulo órtico sería así el triángulo pedal del ortocentro...

   El triángulo pedal respecto del triángulo pedal es el segundo triángulo pedal, y el triángulo pedal respecto del segundo triángulo pedal es el tercer triángulo pedal. Demuestra que si un punto no está alineado con dos vértices de un triángulo, entonces este es semejante al tercer triángulo pedal.

SOLUCIÓN

    Nina Guindilla se puso a pedalear... 

    Mire, profe. Como los segmentos azules son perpendiculares a los lados del triángulo negro, entonces los cuadriláteros azul, amarillo y lila son cíclicos... y los ángulos que he pintado del mismo color son iguales por estar inscritos en el mismo círculo y abarcar el mismo arco. (Se puede hacer también con un punto exterior al triángulo.)

   En fin, si dibujamos los tres triángulos pedales consecutivos... observe el baile de ángulos... El grandote es semejante al pequeñito...

    Si el punto dado fuera un vértice, no habría triángulo pedal evidentemente, y si estuviera alineado con dos vértices del triángulo inicial, sería un vértice del primer triángulo pedal y no habría segundo triángulo pedal (y mucho menos tercero).

    Demuestra que el ortocentro de un triángulo acutángulo es el incentro de su triángulo órtico.
    ¿Qué sucede con los triángulos rectángulos? ¿Y con los obtusángulos?

RESOLUCIÓN

    Mire, profe. En un triángulo rectángulo coinciden en el mismo punto, el vértice del ángulo recto, los pies de las alturas sobre los catetos, y el ortocentro... Sencillamente no hay triángulo órtico en un triángulo rectángulo...

    Yoyó Peluso siguió...

    Si el triángulo es acutángulo, los pies de las alturas no caen en los vértices y por lo tanto tenemos triángulo órtico. Para probar que el ortocentro del triángulo inicial es el incentro del triángulo órtico solo hay que probar que las alturas del triángulo inicial son las bisectrices del triángulo órtico.

    Como las alturas son perpendiculares a los lados, los cuadriláteros amarillo, verde y amarillo+verde+rosa son cíclicos... (Oberve las tres circunferencias.) Tenemos las tres parejas de ángulos iguales a = b, b = g, g = d, que son iguales porque están inscritos en la misma circunferencia y abarcan el mismo arco. Por lo tanto, a = d, que es lo que necesitaba para confirmar el resultado.

    Finalmente, en un triángulo obtusángulo ABC, con ángulo obtuso en C y ortocentro H, el triángulo órtico es también el triángulo órtico del triángulo acutángulo ABH...

    Si observamos la figura nos daremos cuenta de que H no es el incentro del triángulo órtico sino uno de sus exincentros... y el incentro del triángulo órtico es el vértice C.