964. Ceva y las cevianas. RESOLUCIÓN

    Mandé a mis alumnos buscar biografías de matemáticos célebres y Pepe Chapuzas eligió a Giovanni Ceva. Y de paso habló de las cevianas y del teorema de Ceva...

    En un triángulo, una ceviana es una recta que pasa por un vértice pero no por dos.

    El teorema de Ceva afirma que tres cevianas (una por vértice) son concurrentes en un punto interior del triángulo si y solo si se cumple la igualdad abc=xyz. (Ver dibujo.)

    Solo añadí que el teorema se puede generalizar para cevianas concurrentes en un punto exterior.

    Demuestra, utilizando el teorema de Ceva, que las medianas, las bisectrices, las alturas y las mediatrices de un triángulo acutángulo concurren, respectivamente, en el baricentro, el incentro, el ortocentro y el circuncentro. (¡Ojo! Las medianas, las bisectrices y las alturas son cevianas pero las mediatrices ¡no!)

    SOLUCIÓN

    Nina Guindilla no hizo lo que se pedía... sino que intentó demostrar el teorema de Ceva... ¿En qué estaría pensando Nina? La realidad es que a Nina no le gusta utilizar un resultado si no ha visto antes su demostración...


(Los puntos indican ángulos rectos.)

    Sean M, V y N las áreas de los triángulos marrón, verde y naranja respectivamente... Si dos triángulos comparten la base, sus áreas serán proporcionales a sus alturas (ya que área = base · altura / 2). Con esto y el teorema de Tales tenemos:

N/V = A/X = a/x      por lo que     aV = xN

M/N = B/Y = b/y      por lo que     bN = yM

V/M = C/Z = c/z      por lo que     cM = zV

    Multiplicando las tres igualdades de la derecha nos queda:

abcMVN = xyzMVN      por lo que     abc = xyz.

    Falta por demostrar el recíproco... (Si abc=xyz, las cevianas concurren.)
    Completa la demostración...
    Comprueba que la demostración es válida si la intersección de las cevianas cae fuera del triángulo.
    Busca el teorema de Ceva en forma trigonométrica (con demostración).
    Busca el teorema de Menelao.

    Que las medianas de un triángulo son concurrentes es evidente ya que a=x, b=y y c=z... Haz ahora lo que no ha hecho Nina: comprueba que las alturas, bisectrices y mediatrices de un triángulo concurren.

RESOLUCIÓN

   Mire, profe. Un punto de Menelao es un punto alineado con dos vértices del triángulo. (Los vértices no se consideran puntos de Menelao). El teorema de Menelao asegura que si tres puntos de Menelao I, J y K (uno por lado) están alineados, entonces abc = –xyz.

    Tuve que matizar el enunciado de Yoyó Peluso... Añadí que para que tuviera sentido la igualdad había que aceptar segmentos con signo, esto es, que en una pareja de segmentos sobre la misma recta, considerábamos negativo al que formaba parte del otro. Así, señalé que en el dibujo, b era positivo y y negativo... E indiqué que esto se podía aplicar a áreas, ángulos... y otras magnitudes... 



    Yoyó prosiguió...

    Si la intersección de las cevianas cae fuera del triángulo, hay que tomar las prolongaciones de los lados para determinar los segmentos a, b, c, x, y, z... Se pueden tomar magnitudes con signo y, por lo demás, la demostración sigue siendo válida...
    Obsérvese que en el teorema de Ceva puede haber 2 segmentos negativos o ninguno, mientras que en el de Menelao puede haber 1 o 3...

    Yoyó demostró a continuación el recíproco del teorema de Ceva (a partir del directo)...

    Profe, mire. Si abc = xyz, entonces a/x = y/b·z/c, esto es, la posición de una ceviana queda unívocamente determinada por las otras dos (si tomamos segmentos con signo). Por lo tanto no puede ser otra ceviana que la concurrente...
    En forma trigonométrica tenemos senA·senB·senC = senX·senY·senZ.

    Para demostrar que las bisectrices y las mediatrices de un triángulo concurren, no hace falta el teorema de Ceva, basta recordar que la equidistancia es una relación transitiva. No obstante el teorema de Ceva en forma trigonométrico nos da una demostración evidente para las bisectrices...

    Para la concurrencia de las alturas basta observar que los triángulos ROSA+VERDE y NARANJA+VERDE son semejantes por lo que yh = cg, y de forma análoga (llamando f a la tercera altura) xg = bf y zf = ah, por lo tanto abcfgh = xyzfgh, por tanto abc = xyz, por lo que las tres alturas concurren (en el ortocentro). (¡Ojo! Si el triángulo es rectángulo, dos alturas no son cevianas y lo dicho no valdría... Pero en ese caso, esas alturas son catetos y concurren en el vértice del ángulo recto...)