960. Polígonos estrellados. RESOLUCIÓN

    Profe mire. Los polígonos regulares que hemos visto en clase son convexos, pero he visto en Internet que hay otros polígonos regulares que no son convexos. ¡Y son más bonitos, verá...! Se llaman polígonos regulares estrellados por su forma. El más sencillo es el pentágono regular estrellado o pentalfa, que es la estrella de 5 picos. La estrella de 6 picos o estrella de David no es 1 hexágono regular estrellado sino 2 triángulos equiláteros superpuestos. (No hay hexágonos regulares estrellados.) Y luego vienen 2 heptágonos regulares estrellados diferentes (7 picos), 1 octágono regular estrellado (8 picos), 2 eneágonos regulares estrellados (9 picos), 1 decágono regular estrellado (10 picos), etcétera. Vea los dibujos que he hecho... (N es el número de picos.)

    Raro es el día que Pepe Chapuzas no trae algo interesante...
    Con los dibujos de Pepe podemos hacer la siguiente tabla en la que se muestra cuántos polígonos regulares estrellados diferentes hay con N picos, desde N=5 hasta N=10.

    Comprueba que solo son estos los polígonos regulares estrellados con menos de 11 picos (N<11) y continúa la tabla hasta llegar a 20 picos (N=20). No hace falta que dibujes todas las estrellas, se puede completar la tabla con algo de lógica... En cualquier caso, cuéntame cómo lo has hecho.

SOLUCIÓN

    Mire, profe. El número de polígonos regulares estrellados de N picos coincide con la cantidad de coprimos de N que hay en el intervalo (1, N/2).

    Nina Guindilla llegó a este resultado (a saber cómo). Ahora había que demostrarlo:

    Mire, profe. Si partimos de los vértices un polígono regular de N lados, un polígono estrellado de N picos se obtiene uniendo vértices no consecutivos mediante segmentos... ¡Mediante N segmentos! Puedo empezar en un vértice y, sin levantar el lápiz del papel, vuelvo de nuevo al mismo vértice con N segmentos, ni uno más, ni uno menos... 
   La forma del polígono estrellado queda determinado por dos números: el número de picos N y el número vértices K que se avanza en cada segmento. Sea M = m.c.d. (N, K). Con N/M segmentos avanzo N/M·K = N·K/M vértices, esto es, un múltiplo de N, con lo que llego al vértice de partida... Así pues, N/M = N, o sea, M=1, o sea, N y K son coprimos... ¡O sea, que a cada fracción N/K irreducible le corresponde una estrella! 

    ¡A veces los platos con Guindilla son difíciles de digerir!

    Ahora bien, la estrella N/K es la misma que la estrella N/(N–K), así que solo considero los valores K del intervalo (1, N/2). No puede ser K = 1 porque el polígono no sería estrellado, y no puede ser K = N/2 porque N y K son coprimos...

    Cuando hayas hecho la digestión, terminas la tabla de los polígonos estrellados...
    Después, busca en Internet información sobre la función ϕ de Euler y utilízala para escribir la solución de Nina.

RESOLUCIÓN

    Yoyó hizo una tabla con los posibles valores de K para N desde 11 hasta 20...

N	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20
K	2,3,4,5	5	2,3,4,5,6	3,5	2,4,7	3,5,7	2,3,4,5,6,7,8	5,7	2,3,4,5,6,7,8,9	3,7,9

    Mire, profe. La función ϕ(n) de Euler nos da el número de coprimos menores o iguales que n...
    El número de polígonos estrellados de n lados es ϕ(n)/2–1.