952. Una sucesión recurrente. RESOLUCIÓN

    Este era el último ejercicio de la tanda para casa. Iba, está claro, de una sucesión recurrente (o recursiva), pero no se pedía calcular el término general sino solamente el término milésimo. En el cuaderno de Pepe Chapuzas se daba la solución sin ningún cálculo, pero aclaraba que lo había resuelto mentalmente.

    Hazlo tú y me mandas la solución, pero con todos los cálculos escritos y explicados. (Y no vale calcular los mil primeros términos.)

SOLUCIÓN

    Nina Guindilla no calculó los 1000 primeros términos, solo unos cuantos...

 

    1, 3, 2, –1, –3, –2, 1, 3, 2, ...

    ¡Profe, es una sucesión cíclica (o periódica)! Como el ciclo (o período) es de 6 términos, solo tengo que dividir 1000 entre 6. Como el resto de la división es 4, entonces a₁₀₀₀ = a₄ = –1.

    En su definición por recurrencia, esta sucesión se parece a la famosísima sucesión de Fibonacci:

a₁ = 1

a₂ = 1

a_n = a_n–1 + a_n–2

 

    Busca  en Internet el término general de la sucesión de Fibonacci y comprueba que la fórmula funciona para los primeros términos...

RESOLUCIÓN

    Profe, mire. Los primeros términos de la sucesión de Fibonacci son: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, ... Y el término general está relacionado (¡quién lo iba a decir!) con la razón áurea...

    Yoyó Peluso comprobó que la fórmula funcionaba para el término quinto...

 

((1+√5)⁵/2⁵ – (1–√5)⁵/2⁵) /√5 =

= (1+5√5+10√5²+10√5³+5√5⁴+√5⁵ – 1+5√5–10√5²+10√5³–5√5⁴+√5⁵) / (32√5) =

= (5√5+50√5+25√5+5√5+50√5+25√5) / (32√5) =

= (5+50+25+5+50+25) / 32 =

= 160 / 32 = 5