943. La colina de los caracoles. RESOLUCIÓN

    Profe, mire. El parque de mi barrio sería completamente llano y horizontal si no fuera por la colina de los caracoles que se levanta en el centro. La colina es perfectamente cónica, es decir, un cono recto de base circular. Todos los años se celebra una carrera de caracoles en la colina. La salida y la llegada están al pie de la colina, en puntos diametralmente opuestos. Este año un caracol hizo el siguiente recorrido: subió desde la salida hasta la cumbre en línea recta y después bajó desde la cumbre hasta la llegada en línea recta también. La longitud de este recorrido fue de 10 metros. Otro caracol menos atlético evitó la colina y dio un rodeo bordeando la base del cono. Este otro recorrido fue de 10 metros también. Finalmente hubo un tercer caracol que encontró el camino más corto. ¿Cuál es la longitud de este camino más corto sabiendo que no hay túneles?

    No tengo que añadir nada a este problema de Pepe Chapuzas...

SOLUCIÓN

    Nina Guindilla sí tenía algo que añadir: la solución.

    Profe, mire. Gracias al primer caracol sabemos que la generatriz del cono mide 5m. Gracias al segundo caracol sabemos que la circunferencia de la base mide 20m. Si desarrollamos el área lateral del cono obtenemos un sector circular de 5m de radio y 20m de arco.

    El ángulo del sector será 20/5 = 4rad. El tercer caracol fue por el camino más corto, que será la cuerda correspondiente a 2rad, es decir, 2·5·sen(2/2) = 8,415m.

    Resuelve este reto que ha propuesto Nina:

    Un caracol sube por un bidón cilíndrico, de 1m de radio y 3m de altura, desde la base inferior hasta la base superior. En vez de ir por el camino más corto ha seguido una trayectoria helicoidal (pendiente constante), dando 2 vueltas y media al bidón. ¿Cuántos metros ha recorrido el caracol?

RESOLUCIÓN

    Profe, si tumbamos el bidón y lo rodamos por el suelo 2 vueltas y media, el bidón rueda sobre un rectángulo en el suelo de dimensiones 5π y 3. El camino del caracol se corresponde con la diagonal de este rectángulo por lo que su longitud será √(5²π²+3²) = 15,99m.

 

    Es evidente que a Yoyó Peluso le va todo lo que ruede...