899. El póster. RESOLUCIÓN

    Calcula el área comprendida entre la circunferencia circunscrita y la circunferencia inscrita en un triángulo de lados 13cm, 13cm y 10cm respectivamente.

    Este problema apareció en un póster que decoraba el aula. Lo firmaba Pepe Chapuzas.
    ¿A qué esperas? Calcúlala y llévate un positivo.

SOLUCIÓN

    Nina Guindilla conocía las fórmulas del área (A) de un triángulo a partir de sus lados (a, b y c) y de los radios (R y r) de sus circunferencias circunscrita e inscrita...

A = a·b·c:R:4

A = (a+b+c)·r:2

    Profe, mire. Como el triángulo es isósceles, la altura sobre el lado desigual se puede calcular con el teorema de Pitágoras: √(13²–5²) = √(169–25) = √144 = 12cm. Así que el área del triángulo mide A = 12·5 = 60cm². Con lo que los radios de las circunferencias miden...

R = a·b·c:A:4 = 13·13·10:60:4 = 169/24

r = 2·60:(13+13+10) =10/3

    Por lo tanto el área amarilla mide πR²–πr² = 120,87cm².

    Obtén una demostración de las dos fórmulas del área de un triángulo que ha utilizado Nina.

RESOLUCIÓN

 

    Profe, mire:

    En esta figura se observa que los dos triángulos rectángulos amarillos son semejantes, por lo que se tiene la regla de tres a:h = 2R:c, esto es, h = a·c:R:2, y por tanto, el área del triángulo azul será A = b·h:2 = a·b·c:R:4.

    Yoyó Peluso se toma un respiro entre las dos fórmulas...

    Y ahora mire, profe:

    Si cortamos el triángulos en 6 triángulos como se indica en la figura, le damos la vuelta a tres y los acomodamos para formar un rectángulo, el área es A = (x+y+z)·r. Pero x+y+z es el semiperímetro del triángulo, o sea, x+y+z = (a+b+c):2, y A = r·(a+b+c):2...

    Así también se puede deducir esta otra fórmula menos conocida A = r²·(tgα+tgβ+tgγ), donde α, β y γ están marcados en la figura...