889. Los aros de Johnson. RESOLUCIÓN

    Profe, mire. Mis 3 mejores amigos y yo hemos estado jugando con nuestros aros. Los 4 aros son exactamente iguales. Bueno, los de mis amigos son azules y el mío es rojo, pero los 4 tienen el mismo diámetro... Mis amigos se cansaron enseguida del juego y dejaron sus aros en el suelo. Parecían ser circunferencias de un problema geométrico porque, casualmente, las 3 circunferencias se cortaban en 4 puntos, aunque solo 1 de los 4 puntos era común a las 3 circunferencias (era 1 punto triple) y cada 1 de los otros 3 puntos era común a solo 2 circunferencias (eran puntos dobles)... Entonces se me ocurrió poner mi aro rojo sobre los de mis amigos despacito y... ¡Encajaba!... Mi aro pasaba por los 3 puntos dobles... Ahora los 4 puntos eran triples... ¿Lo ve? Si hubiera sido más grande o más pequeño mi aro no habría encajado... Y no fue casualidad, he comprobado que "siempre" encajan...

    Sí, sería por casualidad, pero Pepe Chapuzas había redescubierto el teorema de los círculos de Johnson.

    Mándame un enunciado y una demostración de este teorema...

SOLUCIÓN

    Nina Guindilla encontró el enunciado de los círculos de Johnson: 

    Si tres circunferencias (las azules) son iguales y se cortan en un punto triple (de las tres circunferencias) y en tres puntos dobles (de dos circunferencias), entonces la circunferencia que pasa por los tres puntos dobles (la roja) es igual a las otras.

    De la demostración solo hizo un esbozo:

    1) Si D, E y F son los centros de las circunferencias azules, se demuestra fácilmente que la circunferencia que pasa por D, E y F es igual a las otras.
    2) Si A, B y C son los puntos de intersección dobles, se demuestra que los vectores AB y ED son equipolentes, y de forma análoga AC y FD.
    3) Se deduce fácilmente entonces que los triángulos ABC y DEF son iguales y por lo tanto también son iguales sus circunferencias circunscritas, con lo que quedaría demostrado el teorema.

    Si completas la demostración te llevarás un positivo...

RESOLUCIÓN

    Yoyó Peluso fue a por el positivo...

    Profe, mire. La circunferencia (amarilla) que pasa por D, E y F tiene su centro en el punto triple, ya que, por pertenecer este a las tres circunferencias azules, equidista de D, E y F. Por lo tanto la circunferencia amarilla y las azules son del mismo tamaño (mismo radio).

    Como los cuadriláteros amarillos son rombos (los segmentos amarillos son iguales), entonces AB y ED son equipolentes. De forma análoga son equipolente AC y FD (y BC y FE).

     Por lo tanto los triángulos ABC y DEF son iguales y sus circunferencias circunscritas también. ¡Todas las circunferencias tienen el mismo radio!