864. Los números ascendentes. RESOLUCIÓN

    Profe, mire. En un número ascendente cada cifra es mayor que la anterior. Por ejemplo, el número 23578 es un número ascendente. Las preguntas son las siguientes. ¿Cuántos números ascendentes de 5 cifras hay? ¿Cuánto suman?

    A Pepe Chapuzas le gusta hacer de profe de Mates del profe de Mates...
    Ahora os toca hacer de alumnos... Responded razonadamente.

SOLUCIÓN

    El sueño de Nina Guindilla es ser profesora de Matemáticas... De momento se tiene que contentar con ser alumna aventajada...

    Mire, profe. Los números ascendientes tienen sus cifras ordenadas y no se repiten, por lo tanto son combinaciones de 9 elementos tomados de 5 en 5, es decir, C₉⁵ = 9!:5!:4! = 126. (El 0 a la izquierda no vale...)
   Para calcular cuánto suman tengo que saber cuántas veces aparece cada cifra y en qué posiciones... Cada cifra aparece C₈⁴ = 8!:4!:4! = 70 veces. Si está la cifra 1 será siempre la primera (siempre será 1 decena de millar) y si está la cifra 9 será siempre la última (siempre será 9 unidades)... La cifra 2 aparece como primera cifra en C₇⁴ = 7!:4!:3! = 35 ocasiones y como segunda cifra en C₇³ = 7!:3!:4! = 35 ocasiones..., etc... Es mejor organizar una tabla:

x	Lugar 1º	Lugar 2º	Lugar 3º	Lugar 4º	Lugar 5º	Sumas
Cifra	10000	1000	100	10	1
1	70					700000
2	35	35				770000
3	15	40	15			574500
4	5	30	30	5		332200
5	1	16	36	16	1	148805
6		5	30	30	5	49830
7			15	40	15	13405
8				35	35	3080
9					70	630
Total						2592450

    Interpreta la tabla y comprueba los cálculos de Nina. ¿Cuánto sumarían los números descendentes de 5 cifras?

RESOLUCIÓN

    Mire, profe. El problema de los números descendentes no es simétrico del de los ascendentes... La culpa la tiene el 0: los números pueden terminar en 0 pero no pueden empezar con 0... De hecho, hay C₁₀⁵ = 252 números descendentes y cada cifra aparece C₉⁴ = 126 veces... 

x	Lugar 1º	Lugar 2º	Lugar 3º	Lugar 4º	Lugar 5º	Sumas
Cifra	10000	1000	100	10	1
9	126					11340000
8	70	56				6048000
7	35	70	21			2954700
6	15	60	45	6		1287360
5	5	40	60	20	1	482025
4	1	20	60	40	5	145620
3		6	45	60	15	33345
2			21	70	35	5670
1				56	70	630
Total						22297350

    OK para Yoyó Peluso...