860. Las raíces cuadrada y cúbica a mano (2ª parte). RESOLUCIÓN

    Profe, las raíces cuadradas no se han hecho siempre así, ¿verdad? ¿Cómo se hacían antes (de la llegada) de las cifras arábigas?

    Conté que con las cifras arábigas viajaron, y nos llegaron, muchos de los algoritmos que utilizamos hoy, como el de la raíz cuadrada, conocido como algoritmo de Al-Banna. Y que antes, para las raíces cuadradas, se utilizaban otros métodos como el de Herón...
    Comenté que con el método de Herón, para extraer la raíz cuadrada de A, se calculaba el límite de la sucesión recursiva: X_n+1=(X_n+A/X_n)/2, donde X₁ era cualquier valor "cercano" a la raíz buscada... Rectifiqué enseguida porque en realidad no se calculaba el límite, sino X₃ o X₄ según la precisión requerida... Y puse como ejemplo la raíz cuadrada de 14. Empecé con X₁ = 4, entonces X₂ = (4+14/4)/2 = 3,75 y por tanto X₃ = (3,75+14/3,75)/2 = 3,741666... lo que me daba una exactitud de ¡cuatro decimales! (Añadí que en la época de Herón no se operaba con decimales sino con fracciones).
    A Pepe Chapuzas le encantó en "nuevo" método y encontró, quién sabe dónde, un método para las raíces cúbicas... Esto encontré en su cuaderno:

    La raíz cúbica del número A es el límite de la sucesión X_n+1=(2X_n+A/X_n²)/3.

    Extrae la raíz cúbica de 14 calculando cuatro términos de esta sucesión...

    Por cierto, ¿sabías que el símbolo de raíz es una erre? ¡Es la inicial de raíz!

SOLUCIÓN

    A Nina Guindilla también le encantó el "nuevo" método...

    Profe, mire. Primero he calculado la raíz cúbica de 14 con la calculadora y me sale:

2,4101422642

    Voy a hacerlo ahora con el "nuevo" método. Empezamos por ejemplo con X₁ = 3.

X₂ = (2·3+14/3²)/3 = 2,51852

X₃ = (2·2,51852+14/2,51852²)/3 = 2,41474

X₄ = (2·2,41474+14/2,41474²)/3 = 2,41015

    Ya puestos, Nina calculó también el quinto término de la sucesión...

X₅ = (2·2,41015+14/2,41015²)/3 = 2,4101422642

    La cara de asombro de Nina ante la precisión del resultado era indescriptible...

    Investiga y descubre por qué funcionan estos métodos "nuevos". 

RESOLUCIÓN

    Mire, profe. Los métodos funcionan porque dan lugar a sucesiones convergentes... Si llamamos X al límite de la sucesión, para la raíz cuadrada tenemos la ecuación:

X = (X+A/X)/2

X = X/2+A/X/2

X/2 = A/X/2

X = A/X

X² = A

    Y para la raíz cúbica tenemos:

X = (2X+A/X²)/3

X = 2X/3+A/X²/3

X/3 = A/X²/3

X = A/X²

X³ = A

     Aceptamos la justificación deYoyó Peluso...