845. El tablero de multiplicar. RESOLUCIÓN

    Estaba explicando en clase que como nuestro sistema de numeración era decimal (en base 10, es decir, con 10 cifras), bastaba con aprender 9 tablas de multiplicar (la tabla del 0 es trivial). Comenté que yo me aprendí las tablas a la vez en un tablero de 9 filas y 9 columnas como el de la figura. Fue casi como jugar a los barquitos. (7x6=42 ¡hundido!). En el tablero no se contemplaba multiplicar ni por 0 ni por 10... Pepe Chapuzas preguntó cuánto sumaban todos los números del tablero y algunos compañeros realizaron la suma tecleando todos los números en la calculadora... No era eso lo que pretendía Pepe así que complicó el ejercicio:

    Chapuzalandia se parece a la antigua Babilonia en el sistema de numeración sexagesimal. ¡Tienen 60 cifras diferentes! ¿Tienen que aprenderse 59 tablas de multiplicar?... Si hiciéramos un tablero con todas las tablas, ¿cuánto sumarían todos los números del tablero?

SOLUCIÓN

    Mire, profe. El tablero de multiplicar es una matriz cuadrada. Si A = (1 2 3 4 ...) y A^T es su traspuesta, el tablero de multiplicar sería A^T·A. Y si B = (1 1 1 1 ...) y B^T es su traspuesta, la suma de todos los números del tablero sería B·(A^T·A)·B^T = (B·A^T)·(A·B^T) = (1+2+3+4+...)·(1+2+3+4+...) = (1+2+3+4+...)², es decir, el cuadrado de un número triangular. Para un sistema de numeración en base N el resultado sería N²·(N–1)²/4. Si N=10 tenemos 100·81/4 = 2025. Si N=60 tenemos 3600·3481/4 = 3132900.

    Justifica todos los pasos del razonamiento de Nina Guindilla.

RESOLUCIÓN

    Yoyó Peluso comprobó que las dimensiones de las matrices eran compatibles y que los productos matriciales de Nina se podían realizar... Para justificar la fórmula de los números triangulares recurrió a las progresiones aritméticas:

    Mire, profe. La suma de términos consecutivos de una progresión aritmética es igual al producto del número de términos por la media del primero y el último. Si aplicamos esto a la suma de naturales seguidos... 1+2+3+...+N–1 = (N–1)·(1+N–1)/2 = (N–1)·N/2, de donde se tiene el resultado de Nina...