839. Bueno, bonito y barato. RESOLUCIÓN

    Un día Pepe Chapuzas empezó a contarnos lo que pasaba en un bazar de Chapuzalandia:

    En el bazar más famoso de Chapuzalandia, el 70% de los artículos que se venden son buenos, el 70% son bonitos y el 70% son baratos. Además he hecho cálculos y he averiguado que, en este bazar, el ser bonito y el ser barato son sucesos independientes... Con solo esta información, si cogiéramos un artículo del bazar al azar, ¿cuáles serían las probabilidades mínima y máxima de que fuera bueno, bonito y barato?

    Ya sabes que Pepe no puede concluir una historia sin una pregunta... para que sea el oyente el que ponga el punto final. Creo que esta vez te toca a ti hacerlo... ¡Suerte!

SOLUCIÓN

    Nina Guindilla sabe bien que es difícil encontrar "las tres bes", a no ser que sea en un bazar imaginario...

    Mire, profe. Vamos a llamar Bu, Bo y Ba a los sucesos "que sea bueno", "que sea bonito" y "que sea barato" al coger un artículo del bazar al azar... Tenemos que suponer que "bueno", "bonito" y "barato" son cualidades del objeto que no dependen de las opiniones del comprador y del vendedor (que rara vez coinciden)...
    Con los datos del enunciado no se puede calcular P(Bu ∩ Bo ∩ Ba) pero sí se puede acotar...
    Por un lado P(Bu ∩ Bo ∩ Ba) ≤ P(Bo ∩ Ba) = P(Bo)·P(Ba) = 0,7·0,7 = 0,49, que es la cota superior... 
    Por otro, P(Bu ∩ Bo ∩ Ba) = P(Bu) + P(Bo ∩ Ba) – P(Bu ∪ (Bo ∩ Ba)) ≥ 0,7 + 0,49 – 1 = 0,19,  que es la cota inferior...

    Y si los sucesos Bu, Bo y Ba fueran independientes 2 a 2 (lo que no implica que sean los 3 independientes), ¿cómo se podría acotar P(Bu ∩ Bo ∩ Ba)?

RESOLUCIÓN

    Mire, profe. Si los 3 sucesos fueran independientes, P(Bu ∩ Bo) = P(Bu ∩ Ba) = P(Bo ∩ Ba) = 0,7·0,7 = 0,49, y P(Bu ∩ Bo ∩ Ba) = P(Bu)·P(Bo)·P(Ba) = 0,7·0,7·0,7 = 0,343, y tendríamos el siguiente diagrama:

    Pero si los 3 sucesos no fueran independiente tendríamos estos casos límite (impuestos por el suceso imposible):

    Por lo que 0,37 y 0,28 serían las cotas superior e inferior de P(Bu ∩ Bo ∩ Ba).

    Yoyó Peluso ha proporcionado una resolución buena, bonita y barata...