831. La sucesión de Fibonacci. RESOLUCIÓN

    Como ejemplo de sucesiones recurrentes siempre recurro a la sucesión de Fibonacci, por la gran cantidad de propiedades y aplicaciones que posee. Les dejo a mis alumnos que investiguen y jueguen con ella y que "descubran" algún resultado curioso. Pepe Chapuzas ha "descubierto" lo siguiente...

    Profe mire. Si tomamos cuatro términos consecutivos, el producto de los extremos menos el producto de los medios es 1 o –1.

    ¿Ocurrirá siempre así? Si así lo crees, tienes que demostrarlo...

SOLUCIÓN

    Nina Guindilla "descubrió" en Internet la siguiente propiedad de la sucesión de Fibonacci:

    La suma de 10 términos consecutivos de la sucesión de Fibonacci es siempre un múltiplo de 11.

    ¿Te atreves a demostrarlo?

    Por otro lado, Nina demostró lo que había "descubierto" Pepe de la siguiente manera...

    Mire, profe. Vamos a utilizar el método de inducción... 
    Para  n = 1  tenemos 1·3–1·2 = 1. 
    Si suponemos que el caso es cierto para  n–1 , es decir, si  a_n–1 · a_n+2 – a_n · a_n+1 = ±1 , entonces...

a_n · a_n+3 – a_n+1 · a_n+2 =

= a_n · (a_n+2 + a_n+1) – (a_n + a_n–1) · a_n+2 =

= a_n · a_n+2 + a_n · a_n+1 – a_n · a_n+2 – a_n–1 · a_n+2 =

= a_n · a_n+1 – a_n–1 · a_n+2 =

= ±1.

    O sea, se va alternando +1 y –1... 

RESOLUCIÓN
 

    Yoyó Peluso probó que la suma de 10 términos consecutivos de la sucesión de Fibonacci es un múltiplo de 11 también con el método de inducción:
 

    Profe, mire. Esto es cierto para los 10 primeros términos...

1+1+2+3+5+8+13+21+34+55 = 143 = 11·13.

    Y también

1+2+3+5+8+13+21+34+55+89 = 231 = 11·21

    Si suponemos que es cierto para la suma de 10 términos consecutivos anteriores a a_n, entonces...

a_n–9+a_n–8+a_n–7+a_n–6+a_n–5+a_n–4+a_n–3+a_n–2+a_n–1+a_n =
=(a_n–11+a_n–10)+(a_n–10+a_n–9)+(a_n–9+a_n–8)+(a_n–8+a_n–7)+...+(a_n–3+a_n–2)+(a_n–2+a_n–1) =
= (a_n–11+a_n–10+a_n–9+a_n–8+...+a_n–3+a_n–2) + (a_n–10+a_n–9+a_n–8+a_n–7+...+a_n–2+a_n–1) =
= 11·a_n–5 + 11·a_n–4 = 11·a_n–3

    Yoyó proporcionó también la siguiente explicación de la sucesión de Fibonacci:

 

    Mire, profe. Si solo tenemos monedas de 1€ y 2€, ¿de cuántas maneras se puede pagar una cuenta de N€? Pues de 1 manera 1€, de 1 manera 2€, de 2 maneras 3€ (1€+1€+1€ y 1€+2€), de 3 maneras para 4€, de 5 maneras para 5€, etc.