810. Pescando fracciones unitarias. RESOLUCIÓN

    Profe, mire. Podemos escribir la fracción unitaria 1/6 como suma de dos fracciones unitarias iguales: 1/6 = 1/12 + 1/12. Pero... ¿de cuántas formas se podría escribir 1/6 como suma de dos fracciones unitarias diferentes, es decir, 1/6 = 1/m + 1/n con números naturales m y n diferentes? (Para simplificar podemos suponer que m > n). Ya he pescado algunas soluciones pero no sé si las tengo todas...

    Os propongo esta duda de Pepe Chapuzas como ejercicio. Encuentra (o pesca) todas las soluciones.
    Además, calcula, para cualquier fracción unitaria 1/k, el mayor valor de m y el menor valor de n para que 1/k = 1/m + 1/n. (Con k, m y n números naturales, por supuesto.)

SOLUCIÓN

    A Nina Guindilla le gustaba pescar (siempre que no fueran peces)...

    Profe, he pescado todas las parejas de fracciones unitarias diferentes que suman 1/6. Son estas: 1/42 + 1/7 = 1/24 + 1/8 = 1/18 + 1/9 = 1/15 + 1/10 = 1/6.
    En el caso 1/k = 1/m + 1/n, tiene que ser n > k porque 1/k > 1/n. Así pues, el menor valor de n será k+1, y despejando m = 1/(1/k–1/n) = k·n/(n–k) y sustituyendo n por k+1 tendremos que el mayor valor de m será k(k+1). En el caso de 1/6 = 1/42 + 1/7, (k=6, n=6+1=7, m=6·7=42).

    Si 1/a = 1/b + 1/c + 1/d (con a < b < c < d, números naturales) ¿Cuál es el mayor valor que puede alcanzar d?

RESOLUCIÓN

    Profe, mire. Igual que antes b = a+1. Por tanto 1/a – 1/(a+1) = 1/(a²+a) = 1/c + 1/d. E igual que antes c = a²+a+1 y por lo tanto d = (a²+a)·(a²+a+1). En el caso de a=6, b=7, c=43 y d=1806, esto es, 1/6 = 1/7 + 1/43 + 1/1806.

    Como vemos, a Yoyó Peluso se le da bien pescar...