794. Induciendo, que es gerundio. RESOLUCIÓN

    Había propuesto una demostración por inducción. Se trataba de probar la fórmula que da el máximo número de regiones en que n rectas pueden dividir un plano.

    Pepe Chapuzas entendió muy bien el proceso de inducción como bien se aprecia en la demostración que hizo. Como punto de partida se consideraba sabido que el máximo número de regiones se obtenía si todo par de rectas tenía uno y solo un punto común y tal punto de intersección era distinto para cada par de rectas...

    Profe, mire. Para el caso n=1, o sea, con una recta, es evidente, pues (1²+1+2)/2 = 2 regiones.
    Para n>1 suponemos que la fórmula es cierta para n−1 rectas. Al añadir una nueva recta en las condiciones del enunciado, esta recta cortará a las rectas anteriores en n−1 puntos. Estos n−1 puntos dividen la nueva recta en n trozos (segmentos y semirrectas). Y cada trozo divide una región del plano diferente, por lo que aparecen n regiones más que hay que sumar a la hipótesis de inducción. Por lo tanto, tenemos n + [(n−1)²+(n−1)+2]/2 = (2n+n²−2n+1+n−1+2)/2 = (n²+n+2)/2 regiones, que es la fórmula que queríamos demostrar.

     Pero además, a modo de propina o añadidura, Pepe incluyó la demostración de la fórmula que da el máximo número de regiones en que n planos pueden dividir al espacio. Para obtener el número máximo de regiones, toda terna de planos debía tener uno y solo un punto común y tal punto de intersección debía ser distinto para cada terna de planos. (Para n=2, los dos planos han de ser secantes en una recta.)

    Intenta demostrar esta fórmula mediante un proceso de inducción matemática.

SOLUCIÓN

    Profe, mire. Con n=1, o sea, con un plano, la fórmula vale: (1³+5·1+6)/6 = 2 regiones. Si n>1 suponemos que la fórmula funciona para n–1 planos. Un nuevo plano en las condiciones mencionadas será cortado por los otros planos a lo largo de n–1 rectas, y estas rectas dividirán el nuevo plano en [(n−1)²+(n−1)+2]/2 regiones como mostró Pepe. Cada región del plano, a su vez, dividirá una región del espacio diferente por lo que aparecerán [(n−1)²+(n−1)+2]/2 regiones más que habrá que sumar a la hipótesis de inducción:

[(n−1)²+(n−1)+2]/2 + [(n−1)³+5·(n−1)+6]/6 =

= [n²−2n+1+n−1+2]/2 + [n³−3n²+3n−1+5n−5+6]/6 =

= [n²−n+2]/2 + [n³−3n²+8n]/6 =

= [3n²−3n+6+n³−3n²+8n]/6 =

= [n³+5n+6]/6.

    Que es la fórmula que queríamos demostrar...

    Después de esta demostración, Nina Guindilla os propone otra...

    ¿Cuál es el número máximo de regiones en que n circunferencias pueden dividir un plano? 

    Pues induciendo, que es gerundio...

RESOLUCIÓN

    Yoyó Peluso empezó dibujando circunferencias secantes...

    Profe, mire. Parto de la base de que el número máximo de regiones se obtendrá si todos los pares de circunferencias son secantes y si cada punto de intersección no pertenece a tres circunferencias... La fórmula que voy a demostrar por inducción es n²–n+2, donde n es el número de circunferencias. 
    Para n=1 está claro que 1²–1+2 = 2 regiones.
    Si suponemos que la fórmula funciona para n–1 (n>1), esto es, si con n–1 circunferencias hay (n–1)²–(n–1)+2 = n²–2n+1–n+1+2 = n²–3n+4 regiones, entonces al añadir una circunferencia más se añaden 2(n–1) = 2n–2 regiones más, con lo que en total habrá n²–3n+4+2n–2 = n²–n+2 regiones, que es lo que había que demostrar...

    Yoyó Peluso decía que una cosa era demostrar una fórmula... y otra muy diferente "sacarla". Para obtener estas fórmula Yoyó calculó las diferencias sucesivas incluyendo en rojo el hipotético caso n=0... que no siempre responde a la lógica...

    Las fórmulas se pueden obtener como combinaciones lineales de las combinaciones ordinarias de n elementos: c₀·C_n⁰+c₁·C_n¹+c₂·C_n²+c₃·C_n³+... Los coeficientes (o coordenadas) de la combinación lineal son los números rojos...
    Para las rectas del plano tendremos 1+n+n·(n–1)/2 = n²/2+n/2+1.
    Para los planos del espacio tendremos 1+n+n·(n–1)/2+n·(n–1)·(n–2)/6 = n³/6+5·n/6+1.
    Y para las circunferencias del plano tendremos 2+2·n·(n–1)/2 = n²–n+2.

    Solo podía añadir que no es necesario el caso incluir el caso n=0... Las fórmulas se pueden obtener como combinaciones lineales de las combinaciones ordinarias de n–1 elementos...