781. El falso exponente. RESOLUCIÓN

    Profe, mire. Primero nos dicen que  cos ²  es una potencia, es decir, que  cos ²x = (cos x) ² , y después nos dicen que en las calculadoras  cos ^–1  no es una potencia porque  cos ^–1x = arccos x  en vez de  1/cos x = sec x . La verdad, profe, ¡cuando hay chapuzas en Mates...! A todo esto, ¿qué sería  cos ^–3 ?

    Cuando Pepe Chapuzas tiene razón hay que dársela. Este es un ejemplo claro de una notación ambigua que es difícil de enmendar. Algunas veces se utiliza la notación  f *  en vez de  f ^–1  para evitar confusiones, y otras veces se emplea la denominación de función recíproca en vez de función inversa por la misma razón, pero el peso de la tradición...
    Calcula las funciones recíprocas de las siguientes funciones:

SOLUCIÓN

    Nina Guindilla calculó las recíprocas...

    Sustituyendo la "x" por la "y" y la "y" por la "x" y despejando la "y"... 

    a) Vamos con la función f:

        f(x) = (3x–2)/(2x–3);

        y = (3x–2)/(2x–3); 

        x = (3y–2)/(2y–3), intercambiando x por y;

        x(2y–3) = 3y–2; 

        2xy–3x = 3y–2; 

        2xy–3y = 3x–2; 

        y(2x–3) = 3x–2; 

        y = (3x–2)/(2x–3); 

        f*(x) = (3x–2)/(2x–3). ¡Es una función autorrecíproca!

    b) Vamos con la función g:

        g(x) = √(x√(x√x)) = x7/8;

        y = x7/8;

        x = y7/8, intercambiando x por y;

        y = x8/7;

        g*(x) = x8/7. ¡Los exponentes son inversos!

    c) Vamos con la función h:

        h(x) = 10^(10^x);

        y = 10^(10^x);

        x = 10^(10^y), intercambiando x por y;

        log x = 10^y;

        log log x = y;

        h*(x) = log log x. ¡Un logaritmo compuesto consigo mismo!

    Comprueba que f(f(x)) = x. 

    Comprueba que la gráfica de f es simétrica respecto de la recta y = x.

    ¿Están relacionados los dos hechos? 

RESOLUCIÓN

    Yoyó Peluso hizo lo que se pedía...

    Profe, mire:

 f(f(x)) = (3·f(x)–2)/(2·f(x)–3) = 

= (3(3x–2)/(2x–3)–2)/(2(3x–2)/(2x–3)–3) =

= (9x–6–4x+6)/(6x–4–6x+9) = 5x/5 = x

    Si son intercambiables las variables x e y, la gráfica sería idéntica al intercambiar los ejes x e y, o lo que es lo mismo, la gráfica es simétrica respecto de la bisectriz de los cuadrantes primero y tercero...