774. Entre círculos. RESOLUCIÓN

    He aquí el reto de esta semana que ha propuesto Pepe Chapuzas...

    Los campos de regadío circulares que se observan desde el avión me inspiraron este reto...
    Si la zona verde tiene un área de 1 metro cuadrado, ¿cuánto mide el área de la zona morada formada por tres círculos que son iguales y tangentes entre sí?

SOLUCIÓN

    Lo primero que hizo Nina fue dibujar el triángulo equilátero con vértices en los centros de los círculos. Llamó r al radio de los círculos, con lo que el lado del triángulo medía 2r. El área verde era pues la diferencia entre el área del triángulo y las de los 3 sectores circulares de 60º...

    Profe, mire. Me dan el área verde (1m). El área del triángulo es √3·r2  y el área de los 3 sectores circulares es p·r2/2, por lo que el área verde medirá (√3 – p/2 )·r2 = 1, por lo tanto el cuadrado del radio de los círculos será r2 = 1/(√3 – p/2 ) y el área morada será 3p/(√3 – p/2 )=58,4466 m2.

    Si en vez de tres hubiera cinco círculos iguales tangentes con centros en los vértices de un pentágono regular... ¿cuál sería mayor, el área de un círculo o el área verde?

RESOLUCIÓN

    Veamos lo que ha hecho Yoyó Peluso.

     Profe, mire. El área verde es el área del pentágono menos el área de los 5 sectores circulares de 108º... Si llamamos r al radio de un círculo morado, el lado del pentágono regular mide 2r y el área del pentágono será 5·r2·tg(54º); los cinco sectores circulares medirán 1,5·p·r2, por lo tanto el área verde medirá r2·(5tg54º–1,5p). Si comparamos esta área con la del círculo morado nos sale (5tg54º–1,5p):p = 0,69, por lo que el área verde es mucho menor que el área del círculo morado (aunque no lo parezca)...