759. Las PA y las PG van en tándem. RESOLUCIÓN

    Profe mire, los números de la izquierda están en PG (progresión geométrica). Y sus logaritmos (decimales), que son los números de la derecha, están en PA (progresión aritmética). He descubierto que los logaritmos de las PG son PA. Y si tomo logaritmos en las fórmulas de las PG me salen las fórmulas de las PA... ¡Ya no tengo que aprenderme tantas fórmulas! Las PG y las PA van en tándem...

    Pepe Chapuzas "casi" tenía razón. Tuve que puntualizar su intervención. Le indiqué, para empezar, que para obtener una PA la PG tenía que ser positiva, si no, no se podría tomar logaritmos; y que si tomaba logaritmos en la fórmula de la suma de términos de una PG no salía ninguna fórmula de las PA...

    Demuestra que el logaritmo de una PG positiva es una PA.
    Obtén la fórmula del término general de una PA tomando logaritmos en la fórmula del término general de una PG.
    Obtén la fórmula de la suma de términos de una PA tomando logaritmos en la fórmula del producto de términos de una PG.
    Si te sale me lo explicas...

SOLUCIÓN

    Profe, mire. En una PG tenemos a_n+1 = a_n · r, y si tomo logaritmos, log a_n+1 = log a_n + log r, que es una PA:  b_n+1 = b_n + d.
    El término general de una PG es a_n = a₁ · r^n–1, y por tanto, log a_n = log a₁ + (n–1) · log r, que es el término general de una PA: b_n = b₁ + (n–1)·d.
    El producto de términos consecutivos de una PG es a₁ · a₂ · ... · a_n = (a₁ · a_n)^n:2, y por tanto tenemos, log a₁ + log a₂ + ... + log a_n = (log a₁ + log a_n) · n : 2, que es la fórmula de la suma de términos consecutivos de una PA: b₁ + b₂ + ... + b_n = (b₁ + b_n) · n : 2.

    Nina Guindilla se sabe muy bien las fórmulas de las progresiones y las propiedades de los logaritmos...
    Haz lo mismo que Nina pero al revés... A partir de las fórmulas de las PA, obtén las fórmulas de las PG tomando antilogaritmos.

RESOLUCIÓN

    Yoyó Peluso dedujo la razón de una PG a partir de la diferencia de una PA:

    Mire, profe. La diferencia de una PA es d = (a_m–a_n):(m–n). Si tomamos antilogaritmos tenemos antilog d = antilog ((a_m–a_n):(m–n)) = (antilog a_m : antilog a_n)^1:(m–n), que es la fórmula de la razón de una PG: r = (b_m : b_n)^1:(m–n).