757. Los quesos de Tic y Tac. RESOLUCIÓN

    Era la hora del recreo y llovía a cántaros. Esperamos un poco a que escampara pero como no amainaba el temporal nos quedamos en el aula. Pepe Chapuzas, que es un cuentacuentos aficionado, nos amenizó la espera... con un cuento con cuentas.

    Os voy a revelar un secreto: he descubierto dos ratoncillos en la torre del reloj... y por eso les he puesto los nombres de Tic y Tac. Como los vi hambrientos les llevé tres quesos que había en la despensa. Uno era cónico como los quesos de tetilla, otro era semiesférico como medio queso de bola y el tercero era cilíndrico como los quesos del pueblo. Me di cuenta de que los tres quesos tenían la misma anchura y la misma altura. Le di los dos primeros quesos a Tic y el tercero, que era el mayor, se lo di a Tac.

    Los ratoncillos, en vez de ponerse contentos, empezaron a discutir porque los dos creían que el otro tenía más queso... Tuve que demostrarles con las fórmulas de los volúmenes, y asegurándoles que los quesos no tenían agujeros por dentro, que ambos habían recibido la misma cantidad; pero no se convencieron porque, según me contaron, en la escuela de don Arquímedes, el búho del campanario, todavía no habían llegado a los volúmenes; tan solo habían visto las áreas... Así que tuve que convencerles de otra manera... Les dije que tenían que comerse los quesos en lonchas circulares (cortadas horizontalmente).

    Por cada loncha que se comiera Tac de su queso cilíndrico, Tic se comería una loncha de su queso cónico y una loncha de su queso semiesférico. Las lonchas tendrían que ser superfinas, del grosor de una molécula de queso (les aseguré que todas las moléculas de queso eran iguales ;-) y que las lonchas no se podían hacer más finas porque cuando se rompen las moléculas de queso, el queso deja de ser queso). Así, loncha a loncha, los quesos menguarían en altura a la par y se acabarían a la vez. Y como ya sabían calcular áreas podían comprobar solitos que en cada almuerzo los dos se comerían el mismo número de moléculas...

    Dicho y hecho: hicieron los cálculos... y las paces..., aunque los quesos se los comieron en un día y no en lonchas precisamente.

    ¡Venga! ¡A hacer las cuentas! Calcula los volúmenes de los quesos y las áreas de las lonchas y comprueba lo que se cuenta en el cuento. ¿Es correcto el razonamiento de Pepe?

    El cuento, no obstante, no había terminado. El final lo contó durante el siguiente chaparrón.

    Fui a ver a Tic y a Tac de nuevo y me habían preparado una sorpresa. En agradecimiento me obsequiaban con sendos regalitos de madera que habían tallado ellos mismos. Me hizo mucha ilusión. El de Tic era un tetraedro regular de 2 cm de arista. Y el de Tac era un elipsoide de ecuación π x² + π y² + 2 z² ≤ 1. Además me aseguraron que los dos objetos tenían el mismo volumen a pesar de ser tan diferentes. No sabían calcularlo aún pero, si el artificio de las lonchas era válido, los volúmenes tenían que coincidir... 

    Demuéstralo. Observa el dibujo y calcula las áreas de las secciones (lonchas) y los volúmenes. Y me lo cuentas todo.

SOLUCIÓN

    A Nina Guindilla no le daban miedo los ratones (al menos los de los cuentos)... 

    Profe, mire. Los volúmenes de los quesos son:

    Semiesfera de radio R: V=2πR³:3
    Cono de radio R y altura R: V=πR³:3
    Cilindro de Radio R y altura R: V=πR³

    Es evidente que los dos quesos pequeños equivalen al queso grande...
    Si lo hacemos por lonchas cortadas a altura H, las áreas de estos círculos son:

    Loncha de semiesfera: A=πH(2R–H)   (Teorema de la altura)
    Loncha de cono: A=π(R–H)²
    Loncha de cilindro: A=πR²

    La loncha grande equivale a las dos lonchas pequeñas.
    El razonamiento de Pepe es correcto. Ilustra el conocido como principio de Cavalieri...

    Los volúmenes, en centímetros cúbicos, del elipsoide y del tetraedro son iguales: √8:3
    Las áreas, en centímetros cuadrados, de las secciones a altitud H respecto del centro (del elipsoide y del tetraedro) son iguales: 1–2H²

    Profe. me ha sorprendido que las lonchas del tetraedro y del elipsoide, siendo objetos tan diferentes, tuvieran la misma área... 
   
    Nina me dio los resultados: faltan los pasos intermedios, los cálculos, los razonamientos... Obtén los resultados de Nina de la forma más rigurosa que puedas.

    ¿Por qué crees que el búho del cuento de Pepe se llamaba don Arquímedes?

RESOLUCIÓN

    Yoyó Peluso solo ha respondido a la última pregunta...

    Las ideas de Cavalieri son un avance de lo que hoy llamamos cálculo infinitesimal: cálculo diferencial y cálculo integral. Estas ideas ya aparecían en "El Método", el libro perdido de Arquímedes (y encontrado afortunadamente muchos siglos después)... El búho del cuento no se llamaba así por casualidad...