746. La raíz cuadrada de una matriz cuadrada. RESOLUCIÓN

    A Pepe Chapuzas le gustan los juegos de palabras. Pero en Mates, disfruta con ellos... viendo la cara de perplejidad de sus compañeros. Además suele hacer preguntas enrevesadas a destiempo. Ayer saltó con esta...

    Profe, si A fuera el cuadrado de una matriz cuadrada B, es decir, si A = B·B = B², entonces A sería también una matriz cuadrada pero ¿la matriz cuadrada B sería la raíz cuadrada de la matriz cuadrada A? Si esto es así, yo he encontrado varias raíces cuadradas de I₂, la matriz identidad de orden 2. Mire:

    Le contesté que sí, que se llamaban raíces matriciales, pero que había que tener cuidado porque había matrices cuadradas que no tenían raíces cuadradas, había otras que tenían una cantidad finita y, finalmente, había matrices cuadradas que tenían infinitas raíces cuadradas. Pepe me miró incrédulo. Ahora la cara de perplejidad era la suya pero no hizo ningún comentario. Se quedó pensativo...

    Comprueba, si no lo has hecho todavía, que todas las matrices del ejemplo de Pepe son raíces cuadradas de  I₂.
    Calcula todas las raíces cuadradas de I₂.
    Encuentra alguna matriz de orden 2 que no tenga raíces cuadradas.

    ¡Ánimo! ¡No es difícil!

SOLUCIÓN

    Mire, profe. Plantear una ecuación matricial es plantear un sistema...

aa+bc = 1

ab+bd = 0

ac+cd = 0

bc+dd = 1

    Si d = –a, se verifican las ecuaciones segunda y tercera, y las ecuaciones primera y cuarta serían equivalentes, con bc = 1–aa.

    Si d y a no son opuestos, las ecuaciones segunda y tercera se verifican si b = c = 0, en tal caso las ecuaciones primera y cuarta se verifican si a = d = 1 o a = d = –1.

    Todas las matrices de Pepe cumplen una de las dos condiciones...

    Profe, además he encontrado una matriz que no tiene raíz cuadrada:

    Comprueba que efectivamente la matriz de Nina Guindilla no tiene raíces cuadradas.

    Comprueba que la siguiente matriz tiene exactamente 4 raíces cuadradas:

RESOLUCIÓN

    Yoyó Peluso planteó directamente el sistema de ecuaciones de Nina:

aa+bc = 0

ab+bd = 0

ac+cd = 1

bc+dd = 0 

    Profe, mire. Empezamos con la segunda ecuación (a+d)b = 0. 

    Si b = 0, de la primera ecuación a = 0 y de la cuarta ecuación d = 0, con lo que aparece una contradicción en la tercera ecuación 0 = 1.

    Si d = –a se satisface la segunda ecuación pero no la tercera...

    Por lo tanto la primera matriz no tiene raíz cuadrada.

aa+bc = 2

ab+bd = 0

ac+cd = 0

bc+dd = 3 

    Si d = –a  se verifican las ecuaciones segunda y tercera... De la primera ecuación se obtiene que bc = 2 – bc y de la cuarta ecuación sale que bc = 3 – bc en evidente contradicción... La otra posibilidad para las ecuaciones segunda y tercera es que b = 0 o c = 0. En cualquiera de los dos casos sale aa = 2 y dd = 3 por lo que las soluciones son: