739. El templo de las luces. RESOLUCIÓN

    Así llamaban al templo porque tenía una luz por cada día del año. Las luces, que no se fundían nunca, estaban numeradas del 1 al 365 (366 los años bisiestos) y cada una tenía un pulsador. Cuando se apretaba el pulsador, esa luz se encendía si estaba apagada o se apagaba si estaba encendida.
    El templo se inauguró el primer día del año con el encendido de todas las luces.
    El segundo día del año se apretaron los pulsadores de las luces 2ª, 4ª, 6ª, 8ª, 10ª, etc.
    El tercer día del año se apretaron los pulsadores de las luces 3ª, 6ª, 9ª, 12ª, 15ª, etc.
    El cuarto día del año se apretaron los pulsadores de las luces 4ª, 8ª, 12ª, 16ª, 20ª, etc.
    El quinto día del año se apretaron los pulsadores de las luces 5ª, 10ª, 15ª, 20ª, 25ª, etc.
    Y así sucesivamente cada día del año...
    ¿Cuántas luces y cuáles quedarán encendidas el último día del año?

    ¡Este Pepe Chapuzas y sus retos...!
    Resuélvelo. Espero tu comentario con la solución correcta.

SOLUCIÓN

    Lo primero que averiguó Nina Guindilla fue que la solución no dependía de si el año era o no bisiesto. (¿Por qué?) Después llegó a la conclusión de que una luz quedaba encendida al final del año si su pulsador era apretado un número impar de veces, lo cual le ocurriría solo a las luces numeradas con un cuadrado perfecto: 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, ... (¿Por qué?) 

    Responde a los porqués... 
    Entonces, ¿cuántas luces y cuáles quedarán encendidas el último día del año?

RESOLUCIÓN

    Yoyó Peluso contó los cuadrados perfectos...

    Mire, profe. 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 91, 100, 121, 144, 169, 196, 225, 256, 289, 324 y 361. El siguiente cuadrado perfecto es 400 = 20·20. Por lo tanto hay 19 luces encendidas el último día del año. Y da igual que sea año bisiesto o no... porque 361 < 365 < 366 < 400. 
    A lo largo del año, cada pulsador es pulsado, además del día del año correspondiente a su número, los días anteriores que sean divisores de dicho número. Solo los cuadrados perfectos tienen un número impar de divisores, porque los divisores de un número están emparejados (divisor y cociente) excepto las raíces cuadradas de los cuadrados perfectos (donde divisor y cociente coinciden).