703. Euler en entredicho. RESOLUCIÓN

    Para Pepe Chapuzas lo peor de las Matemáticas es que sean "tan dogmáticas". De hecho, siempre está intentando encontrar "fallos" a los grandes matemáticos. Un día me salta con esta:

    Profe, donde vivo no funciona "lo de Euler", lo de que CARAS + VÉRTICES − ARISTAS = 2. He probado con pirámides, prismas, el icosaedro, el dodecaedro, y hasta con mi balón de fútbol..., y funciona, pero con mi bloque de pisos mire lo que pasa (¡ojo!, la planta del edificio, que no se ve, es como el tejado):

    4 caras a la calle, 4 al patio, 4 arriba y otras 4 abajo, en total 16 caras.
    8 vértices arriba y otros 8 abajo, en total 16 vértices.
    12 aristas arriba, otras 12 abajo y 8 más verticales, en total 32 aristas.
    Así que tenemos CARAS + VÉRTICES − ARISTAS = 16 + 16 − 32 = 0.
    ¡Vaya Chapuza!¡No funciona!

    ¿Se equivocó Euler? Busca información en Internet y cuéntanoslo.

SOLUCIÓN

    Nina Guindilla trajo a clase dos poliedros de plastilina: uno tenía dos túneles y el otro tenía tres... He intentado dibujar el de dos túneles:

    Profe, mire. El bloque de pisos donde vivimos tiene un túnel: el patio... Yo creo que la fórmula de Euler solo vale para poliedros sin túneles... Aquí he traído un bloque con dos patios y otro con tres patios. He calculado CARAS + VÉRTICES – ARISTAS para ambos poliedros y me sale –2 y –4 respectivamente... Yo creo que a la fórmula de Euler le falta algo... ¿Qué le parece esta fórmula nueva?

CARAS + VÉRTICES – ARISTAS + 2 · TÚNELES = 2 

    A todo esto, cuando vi por primera vez la fórmula de Euler me dije... ¿Pero no quedamos que no se podían sumar peras con manzanas? ¿Y caras con vértices sí?

    ¿Funcionará la fórmula de Nina para poliedros con muchos túneles?

    Si quieres saber más sobre de este asunto, investiga acerca de la llamada característica de Euler... y me cuentas lo que averigües.

RESOLUCIÓN

    Yoyó Peluso buscó en Internet información sobre la característica de Euler. Se denomina ji (no es de risa): χ = CARAS – VÉRTICES + ARISTAS, que en el caso de los poliedros con túneles equivale a 2 – 2·TÚNELES...

    Profe, χ es un invariante topológico, lo que quiere decir que, además de a poliedros, se puede aplicar a superficies curvas y elásticas (como el balón de Pepe)... Por ejemplo, para la superficie esférica χ = 2 como en los poliedros sin túneles. Y para la superficie de una rosquilla χ = 0 porque tiene un túnel... 

    Puse a prueba a Yoyó... Le pregunté si habría superficies cerradas con χ impar... Yoyó siguió investigando...

    ¡He encontrado en Internet una superficie para la que χ = 1! Esta superficie se puede conseguir pegando los bordes de un círculo y una banda de Möbius. (Obsérvese que la banda de Möbius tiene solamente un borde.)

    No se puede pegar estos bordes en nuestro espacio tridimensional pero sí se puede en un espacio de cuatro dimensiones... 

    Dejemos a Yoyó en su cuarta dimensión...