584. SOLUCIÓN de 284. La esfera de Dandelin

    Para explicar las secciones cónicas dibujé en la pizarra lo mejor que pude un cono recto que pretendía cortar con planos oblicuos. La primera sección cónica que obtuve fue la elipse. Pepe Chapuzas, que ya había visto la elipse en clase de Dibujo, saltó:

    Profe, lo que ha dibujado parece un cucurucho de barquillo... ¡Solo le falta el helado!

    Entonces dibujé, como si fuera una bola de helado, una esfera de Dandelin: una esfera encajada en el cono y tangente al plano oblicuo... No sé que tipo de visión espacial tiene Pepe pero su pregunta me pilló de sorpresa...

    Profe... ¿No caerá el punto de tangencia entre la esfera y el plano en un foco de la elipse, por un casual?

    Demuestra que, efectivamente, el punto de tangencia es uno de los focos de la elipse...

SOLUCIÓN

    Mire, profe. La elipse tiene dos focos y por lo tanto tiene dos esferas de Dandelin, una a cada lado del plano oblicuo. Algo parecido le pasa a una hipérbola, que también tiene dos focos y dos esferas de Dandelin, pero una en cada hoja del cono... Sin embargo, la parábola tiene un solo foco y una sola esfera de Dandelin... 
    Si en vez de un cono tenemos un cilindro, entonces el plano oblicuo solo produce elipses. (La elipse es una sección cilíndrica además de ser una sección cónica.) La demostración de que el foco es el punto de tangencia entre la esfera y el plano en el caso del cono es similar en el caso del cilindro...

    Sea un cono recto cortado por un plano oblicuo y consideremos las dos esferas tangentes al cilindro y al plano. Sean A y B los puntos de tangencia entre el plano y las esferas. Sea un punto P de la sección cilíndrica. Sean C y D los puntos de intersección entre el meridiano del cilindro que pasa por P y los paralelos del cilindro tangentes a las esferas. (El meridiano es una generatriz y los paralelos son circunferencias.) Como /PA/ = /PC/ y /PB/ = /PD/ (segmentos tangentes a una esfera desde un punto exterior), se tiene que /PA/+/PB/ = /PC/+/PD/ = /CD/ que es constante (es la longitud del meridiano entre los dos paralelos) y no depende de P. Por lo tanto, la sección cilíndrica es una elipse y A y B son sus focos.

    ¿Cómo se haría la demostración con un cono? ¿Cómo se haría la demostración para una hipérbola? ¿Y para un parábola?