581. SOLUCIÓN de 281. Los cuadrados equilibristas

    Cinco cuadrados equilibristas están en equilibrio... De pronto se dan cuenta de que hay un cuadrado y un triángulo que tienen la misma área. (Están marcados con la letra A.) ¡Demuéstralo!

    Pepe Chapuzas te reta con este reto... Resuélvelo sin perder el equilibrio...

SOLUCIÓN

    Nina Guindilla tiene buen equilibrio...

 

    Mire, profe. Tomo como unidad de longitud el lado del cuadrado marcado con A, de ese modo solo hay que probar que el área del triángulo marcado con A es 1. 

    Nina nombró algunos lados y ángulos en la figura... Y empezó a calcular el área...

s·t·senβ / 2 =

= s·t·sen(90º–σ–τ) / 2 =

= s·t·cos(σ+τ) / 2 =

= s·t·(cosσ·cosτ–senσ·senτ) / 2 =

= s·cosσ · t·cosτ / 2 – s·senσ · t·senτ / 2 =

    Aquí aplicó los teoremas del seno y del coseno...

 

(s²+1–sen²α)/2 · (t²+1–cos²α)/2 / 2 – senα·sen(90º+α) · cosα·sen(180º–α) / 2

(s²+cos²α)/2 · (t²+sen²α)/2 / 2 – senα·cosα · cosα·senα / 2

 (s²+cos²α) · (t²+sen²α) / 8 – sen²α·cos²α / 2 

 

    Y ahora el teorema del coseno para s² y t²...

 

(1–2·senα·cos(90º+α)+sen²α+cos²α)·(1–2·cosα·cos(180º–α)+cos²α+sen²α)/8 – sen²α·cos²α/2

(1+2·senα·senα+1)·(1+2·cosα·cosα+1)/8 – sen²α·cos²α/2

(2+2·sen²α)·(2+2·cos²α)/8 – sen²α·cos²α/2

(1+sen²α)·(1+cos²α)/2 – sen²α·cos²α/2

( 1 + sen²α + cos²α + sen²α·cos²α – sen²α·cos²α ) / 2

(1+1+0)/2

1

    Explica qué ha hecho Nina en cada paso...