578. SOLUCIÓN de 278. Un octágono mixtilíneo

    Profe, mire. Este círculo y este cuadrado tienen dos cosas en común: tienen el mismo centro (son concéntricos) y tienen la misma área (1 metro cuadrado). La intersección (en verde) es un octágono con 4 lados rectos y 4 lados curvos: es mixtilíneo... ¿Cuánto miden el área y el perímetro de este octágono mixtilíneo?

    Aquí tenéis el reto que Pepe Chapuzas ha propuesto para el fin de semana...

SOLUCIÓN

    Mire, profe. Si el cuadrado y el círculo tienen la misma área (1 metro cuadrado), entonces el cuadrado tiene 1 metro de lado y el círculo tiene 1/√π metros de radio.

    Con el teorema de Pitágoras calculo el lado recto b = 2·√(1/π–1/4) = 0,522723. Como el ángulo β = 2·arccos (√π/2) = 55º11'39", entonces α = 90º – β = 34º48'21". Ello nos permite calcular el lado curvo a=α·1/2·π/180 = 0,303738. Por tanto, el perímetro del octágono mide 4a+4b = 3,305844 metros. Finalmente, con el área del triángulo azul B = b·1/2/2 = 0,130681 y la del sector amarillo A = π·1/4·α/360 = 0,075934, calculo el área del octágono mixtilíneo será 4A + 4B = 0.826480 metros cuadrados.

    Justifica todos los cálculos de Nina Guindilla. 
    Calcula el área de cada pieza roja.