547. SOLUCIÓN de 247. Suma o producto

    En un ejercicio nos daban la suma de las tangentes de los ángulos de un triángulo y nos pedían el producto de esas tres tangentes. Los alumnos empezaron a rascarse la cabeza sospechando que el ejercicio no se podía hacer con tan pocos datos. Pero Pepe Chapuzas acabó superrápido...

   ¡Profe, si da lo mismo!

    Demuestra que efectivamente la suma y el producto dan lo mismo para cualquier triángulo...
    ¿Qué ocurre con los triángulos rectángulos?

SOLUCIÓN

    Los triángulos rectángulos son un caso límite. La igualdad queda ∞ = ∞.

    Nina Guindilla dejó más o menos claro que la igualdad no tiene sentido si hay un ángulo recto, ya que no existe la tangente de 90º...

    Si el triángulo no es rectángulo, entonces tenemos la siguiente cadena de igualdades...

tgα+tgβ+tgγ =

= tgα+tgβ+tg(180º–α–β) =

= tgα+tgβ–tg(α+β) =

= tgα+tgβ–(tgα+tgβ)/(1–tgα·tgβ) =

= (tgα+tgβ–(tgα+tgβ)·tgα·tgβ–tgα–tgβ)/(1–tgα·tgβ) =

= (–(tgα+tgβ)·tgα·tgβ)/(1–tgα·tgβ) =

= –tgα·tgβ·tg(α+β) =

= tgα·tgβ·tg(180º–α–β) =

= tgα·tgβ·tgγ 

    Explica en cada paso lo que ha hecho Nina.