540. SOLUCIÓN de 240. Polígonos naturales, naturalmente

    Profe, mire. Estos polígonos regulares tienen todos un ángulo interior que mide una cantidad entera (un número natural) de grados sexagesimales. Ayer me puse a averiguar cuántos polígonos regulares (y cuáles) comparten esta peculiaridad... pero se me hizo de noche... Y esta mañana tenía demasiado sueño... ¿Me podría echar una mano?

    Parece que a Pepe Chapuzas se le han pegado las sábanas. Ha llegado tarde a clase... y encima con este problema. Igual piensa que así no le voy a poner un retraso en el parte... Al final, él se quedará con su retraso en el parte y el que resuelva su problema se llevará un positivo. ¡Ánimo!

SOLUCIÓN

    Nina Guindilla partió de la fórmula que nos da el ángulo interior de un polígono regular de N lados: Î =  180º·(N–2):N...

    Profe, voy a despejar el número de lados N...

ηN = 180º·N–360º

(180º–Î)·N = 360º

N = 360º:(180º–Î) = 360º:Ê

    Tengo que buscar divisores naturales Ê de 360º menores que 180º. Ê es el suplementario de Î, (por ejemplo el ángulo exterior o el ángulo central del polígono). Para cada posible valor de Ê tendré una solución, esto es, un polígono regular de N lados cuyo ángulo interior Î mide un número natural de grados sexagesimales... Por lo anterior, se deduce que N tiene que ser un divisor de 360 mayor que 2. Hay 22 en total... 

N	3	4	5	6	8	9	10	12	15	18	20
Î	60º	90º	108º	120º	135º	140º	144º	150º	156º	160º	162º

N	25	30	36	40	45	60	72	90	120	180	360
Î	165º	168º	170º	171º	172º	174º	175º	176º	177º	178º	179º

 
   Prueba que en todo polígono regular, el ángulo central y el ángulo exterior coinciden.