523. SOLUCIÓN de 223. Ciclos de polígonos

    Profe, mire. En casa tengo una bonita colección de polígonos regulares. Empecé a juntar por los lados los que tenía "repes" formando ciclos... Bueno..., esto lo aclaro. Llamé ciclos a las figuras planas que obtenía juntando por los lados polígonos regulares idénticos. La única condición era que tenían que formar una cadena cerrada y que sus centros descansaran sobre una circunferencia imaginaria... En fin... No sé si lo he aclarado u oscurecido así que voy a hacer unos dibujitos para que se entienda:

    La cuestión es muy sencilla... ¿Cuántas ciclos diferentes se pueden formar con cada clase de polígono?

    Pepe Chapuzas ha planteado una interesante cuestión. Investiga el asunto y me cuentas lo que descubras. Espero que la respuesta sea igual de interesante...

SOLUCIÓN

    A Nina Guindilla la cuestión no le parecía nada sencilla, pero el ejercicio era demasiado hermoso...

    Profe, los ciclos de polígonos tienen simetría rotacional. Si hay n polígonos, el ángulo 2π/n es ángulo de simetría...

    El ángulo 2π/n está determinado por dos lados (prolongados) de un polígono, así que tengo que calcular los posibles ángulos determinados por parejas de lados (prolongados) en cada tipo de polígono. Se formará un ciclo cada vez que uno de esos ángulos sea de la forma 2π/n, para algún natural n>2.
    Consideremos un polígono regular de L lados (L>2) y tomemos 2 de esos lados. Si hay V vértices entre estos lados por el camino más corto (0<V<L/2), el ángulo sería π·(L–2V)/L. Igualando las dos expresiones obtenemos π·(L–2V)/L = 2π/n, por lo que n = 2L/(L–2V). Cuando el valor de esta fracción sea un número natural habrá un ciclo de n polígonos... Voy a hacer una tabla:

L>2	0<V<L/2	n = 2L/(L–2V)	¿ciclo?
3	1	6	sí
4	1	4	sí
5 5	1 2	10/3 10	no sí
6 6	1 2	3 6	sí sí
7 7 7	1 2 3	14/5 14/3 14	no no sí
8 8 8	1 2 3	8/3 4 8	no sí sí
9 9 9 9	1 2 3 4	18/7 18/5 6 18	no no sí sí
10 10 10 10	1 2 3 4	5/2 10/3 5 10	no no sí sí
11 11 11 11 11	1 2 3 4 5	22/9 22/7 22/5 22/3 22	no no no no sí
12 12 12 12 12	1 2 3 4 5	12/5 3 4 6 12	no sí sí sí sí

    Demuestra la fórmula que da Nina para el ángulo determinado por dos lados (prolongados) de un polígono: π·(L–2V)/L. (Si V=1 los lados del polígono son contiguos y la fórmula nos da el ángulo interior del polígono.)
    Dibuja algunos de los ciclos de la tabla.