520. SOLUCIÓN de 220. Un sangaku

    Pepe Chapuzas se ha aficionado a los sangakus geométricos. Yo creo que hasta se los inventa... Cuando alguno se le resiste lo propone en clase para su resolución colectiva. Este es el último:

    Un sector circular de radio 1 pie se puede abrir y cerrar como un abanico. Al trazar la cuerda del arco del sector, este queda dividido en dos partes: un segmento circular (azul) y un triángulo isósceles (verde). Si inscribimos un círculo en cada parte como se observa en el dibujo... ¿Qué ha de medir el ángulo del sector para que los círculos sean iguales?

    Intenta resolver este sangaku y envíame por correo electrónico el resultado al que hayas llegado.
    Busca (o inventa) algún sangaku interesante y lo propones en clase...

SOLUCIÓN

    Nina Guindilla empezó a interesarse por la cultura japonesa precisamente gracias a la antiquísima tradición de los sangakus...

    Profe, voy a llamar  x  a la mitad del ángulo del sector. Por lo tanto, el ángulo que hay que calcular mide  2x ... El diámetro del círculo superior es la sagita del segmento circular y mide (en pies): Diámetro = 1 – cos x . El círculo inferior está inscrito en el triángulo isósceles, por lo que su diámetro se puede calcular a partir del área y del perímetro del triángulo de la siguiente manera:  Diámetro = 4 · Área / Perímetro = 2 · sen x · cos x / (1 + sen x) . Si igualamos los diámetros de los círculos tenemos la ecuación trigonométrica:

1 – cos x = 2 · sen x · cos x / (1 + sen x),
 o mejor aún...
 (1 + sen x) · (1 – cos x) = 2 · sen x · cos x

    Aquí Nina se atrancó... Lo intentó de varias formas... pero nada... Este fue uno de esos momentos mágicos que solo los profes podemos saborear: le hablé a Nina del cambio de variable  tg(x/2) = t , con el que  sen x = 2t/(1+t²)  y  cos x = (1–t²)/(1+t²). Ahora podía seguir... 

(1 + 2t/(1+t²)) · (1 – (1–t²)/(1+t²)) = 2 · 2t/(1+t²) · (1–t²)/(1+t²)

(1+t²+2t)/(1+t²) · (1+t²–1+t²)/(1+t²) = 4t/(1+t²) · (1–t²)/(1+t²)

sin miedo quito denominadores...

(1+t²+2t) · 2t² = 4t · (1–t²)

como la solución t = 0 no vale, divido entre 2t...

(1+t²+2t) · t = 2 · (1–t²)
t + t³ + 2t² = 2 – 2t²
t³ + 4t² + t – 2 = 0
como la solución t = –1 no vale, divido entre t+1...
t²+ 3t – 2 = 0
t = (–3+√17)/2

la solución t = (–3–√17)/2 no vale, deshago el cambio de variable...

x/2 = arctg((–3+√17)/2)

el ángulo buscado es...

2x = 4·arctg((–3+√17)/2) = 117º15'58". 

    Comprueba que, efectivamente, con el cambio de variable  tg(x/2) = t , se obtiene que  sen x = 2t/(1+t²)  y  cos x = (1–t²)/(1+t²).

    Justifica los pasos en los cálculos de Nina.

    A Nina, con la emoción, se le ha olvidado plantear un sangaku a los demás. Hazlo tú.