518. SOLUCIÓN de 218. Los primos de Pepe Chapuzas (2ª parte)

    Profe, mire. Los inversos de los números primos son números racionales y sus expresiones decimales son infinitas periódicas puras (excepto las de 1/2 y 1/5). Además el número de cifras del período (longitud del período) es siempre menor que el número primo (el denominador). ¿Sabría decirme cuál es el único primo que da lugar a un período de 1 cifra? ¿Y de 2 cifras? ¿Y de 3 cifras? ¿Y de 4 cifras?

    Pepe Chapuzas siempre me está poniendo a prueba...
    ¿Quién me echa una mano para contestar a Pepe de forma razonada?
    ¿Por qué la longitud del período es menor que el denominador?
    Investiga qué pasa con períodos de mayor longitud.

SOLUCIÓN

    Profe, mire. Al dividir, los restos son siempre menores que el divisor (denominador) y tarde o temprano los restos se repetirán... Como a cada resto le corresponde un decimal del cociente, estos también se repetirán y por lo tanto el número de decimales del período será menor que el denominador (divisor).
    Si el período fuera de una cifra, el denominador de la fracción generatriz sería 9 = 3·3, por lo que (simplificando la fracción) el número primo solo puede ser 3. La fracción es 1/3 = 0,333... y el período tiene una cifra: 3.
    Si el período fuera de dos cifras, el denominador de la fracción generatriz sería 99 = 3·3·11, y el número primo sería el 11 (el 3 está descartado por lo anterior). La fracción es 1/11 =  0,090909... y el período tiene dos cifras: 09.
    Si el período fuera de tres cifras, el denominador de la fracción generatriz sería 999 = 3·3·3·37, por lo que el número primo sería el 37. La fracción es 1/37 = 0,027027027... y el período tiene tres cifras: 027.
    Si el período fuera de cuatro cifras, el denominador de la fracción generatriz sería 9999 = 3·3·11·101, por lo que el número primo sería el 101 y la fracción 1/101 = 0,009900990099...

    Para períodos más largos creo que te toca a ti seguir investigando...