490. SOLUCIÓN de 190. Un teorema ninguneado

    Profe, ya me he aprendido el teorema del seno y el teorema del coseno. ¿Por qué no nos enseña el teorema de la tangente?

    En clase pensaron que Pepe Chapuzas estaba bromeando. Quizá lo estuviera... pero el caso es que existe un teorema de la tangente igual de útil que los teoremas del seno y del coseno, y sin embargo es un teorema ninguneado en los planes de estudio... Así que lo escribí en la pizarra... Si a y b son lados de un triángulo y A y B son sus ángulos opuestos respectivamente entonces...

   Pepe ha propuesto resolver el siguiente problema utilizando solamente el teorema de la tangente:

    De un triángulo conocemos dos lados a=277mm y b=123mm, y el ángulo comprendido C=43º30'. Calcula los otros dos ángulos A y B del triángulo.

    Resuelve el problema de Pepe Chapuzas y demuestra el teorema de la tangente. ¡Ánimo!

SOLUCIÓN

    Nina Guindilla demostró el teorema antes de aplicarlo. ¡Había que ir sobre seguro! En su cuaderno estaba bien explicado...

    Partimos del teorema del seno: 

a : sen A = b : sen B

a : b = sen A : sen B

    Y aplicamos las reglas de la proporcionalidad:

(a + b) : (a – b) = (sen A + sen B) : (sen A – sen B) =

    Y aplicamos las fórmulas de transformación de sumas en productos:

= (2·sen((A+B):2)·cos((A–B):2)) : (2·cos((A+B):2)·sen((A–B):2)) =

    Y ya está: 

=  tg((A+B):2) : tg((A–B):2)

    Calculemos ahora: 

(A+B)/2 = (180º–C)/2 = 68º15',

a + b = 277+123 = 400mm y

a – b = 277–123 = 154mm.

    Y aplicando el teorema de la tangente:

(A–B)/2 = arctg (tg 68º15' · 154 : 400) = 43º58'48".

    Por lo tanto: 

A = 68º15' + 43º58'48" = 112º13'48" y

B =  68º15' – 43º58'48" = 22º16'12".

    Comprueba y detalla todos los pasos de la demostración y de los cálculos de Nina...