478. SOLUCIÓN de 178. Cortando el alambre

    Dicté en clase un problema clásico de optimización. Pepe Chapuzas copió el enunciado en su cuaderno, pero además escribió algo que remarcó en amarillo chillón y que yo no había dictado... También hizo un dibujo para ilustrar el problema antes de resolverlo...

    Un alambre de un metro de longitud se corta en dos trozos. Doblando los dos trozos de alambre se forman un cuadrado y un círculo respectivamente. Calcula la longitud de cada trozo para que la suma de las áreas del cuadrado y del círculo sea mínima.
    (Los trozos de alambre tienen distintas longitudes y el cuadrado y el círculo tienen distintas áreas).

    Calcula las áreas del cuadrado y del círculo suponiendo cortamos el alambre para que las longitudes de los dos trozos sean iguales.
    Calcula las longitudes de los trozos de alambre suponiendo que cortamos el alambre para que las áreas del cuadrado y del círculo sean iguales.
    Resuelve el problema dictado calculando, además de las longitudes de los trozos de alambre, las áreas del cuadrado y del círculo. ¿Tenía razón Pepe Chapuzas en lo que remarcó con rotulador?

SOLUCIÓN

    A Nina Guindilla los problemas de optimización le fascinan. Veamos como ha resuelto este:

    a) Si los dos trozos de alambre son iguales hay que cortar por la mitad, con lo que los perímetros del cuadrado y del círculo son de medio metro. El lado del cuadrado es 0,5:4 = 0,125, por lo que el área del cuadrado será 0,125² = 0,015625 m². El radio del círculo es 0,5:2:π = 0,079577, por lo que el área del círculo será π·0,079577² = 0,019894 m².

    b) Si 1–L y L son las longitudes de los dos trozos de alambre, las áreas del cuadrado y del círculo serán (1–L)²:16 y L²:4:π. Solo hay que resolver (1–L)²:16 = L²:4:π... Multiplicando por 16 queda: 1–2L+L² = 1,27324L²... Y ordenando la ecuación: 0,27324L²+2L–1 = 0... obtenemos la solución con la fórmula general: L = (–1+√1,27324):0,27324 = 0,46984 m (el perímetro del círculo) y 1–L = 0,53016 m (el perímetro del cuadrado).

    c) Finalmente resolvemos el problema de optimización: hay que minimizar la función suma de áreas S(L) = (1–L)²:16 + L²:4:π, cuya derivada es S'(L) = (L–1):8 + L:2:π. Anulando la derivada obtenemos el valor de L = 0,4399 m y 1–L = 0,5601 m. Las áreas del círculo y del cuadrado son (0,5601)²:16 = 0,01961 m² y 0,4399:4:π = 0,01534 m².  Pepe tenía razón... Solo queda añadir que la derivada segunda S"(L) = 1:8+1:2:π es positiva, lo cual garantiza que la suma de áreas sea mínima.

    Repasa todos los cálculos de Nina.