469. SOLUCIÓN de 169. Parábolas para desorientados

    Estábamos corrigiendo ejercicios de parábolas. En unos el eje de la parábola era vertical y en otros era horizontal. Esto supone siempre una dificultad añadida para alumnos "desorientados"... Pepe Chapuzas, que suele andar bastante "orientado", ha propuesto el siguiente reto...

    Una parábola con eje horizontal corta a otra parábola con eje vertical en 4 puntos. Demuestra que hay una circunferencia que pasa por esos 4 puntos.

    Pepe dice que lo ha resuelto tomando como ejes de coordenadas los ejes de las parábolas... y que ya no da más pistas...

SOLUCIÓN

    Nina Guindilla se orienta bastante bien...

    Mire, profe. Si p y q son los parámetros de las parábolas en cuestión, entonces sus ecuaciones serán P: y²–2px–m²=0 y Q: x²–2qy–n²=0 respectivamente. Si sumamos las dos ecuaciones obtenemos E: x²+y²–2px–2qy–m²–n²=0 que es la ecuación de una circunferencia de centro C(p,q) y radio R=(p²+q²+m²+n²)^1/2. Los puntos de intersección de las dos parábolas satisfacen las ecuaciones P y Q y por lo tanto también E, es decir, son todos de la circunferencia...

    ¿Qué significado geométrico tienen m y n?
    ¿Cuáles son las coordenadas de los vértices de las dos parábolas?