443. SOLUCIÓN de 143. Los números tartamudos

    Si un número tartamudo ;-) es un número natural que tiene todas sus cifras iguales, ¿cuántos números tartamudos menores que 1 000 000 000 son múltiplos de 33?

    Pepe Chapuzas os ha retado con este ejercicio de divisibilidad. ¡Al ataque (sin tartamudear)!

SOLUCIÓN

    Profe, mire. Sea N el número de cifras que tiene el número tartamudo y M la cifra que se repite... (El número tartamudo sería MMMMM...) Si el número tartamudo tiene que ser menor que 1 000 000 000 podemos asegurar que 1≤N≤9. Lo mismo podemos decir de M: 1≤M≤9. Si nuestros números tartamudos tienen que ser múltiplos de 33, tendrán que se múltiplos de 3 y de 11. Si tienen que ser múltiplos de 3 la suma de sus cifras también (criterio de divisibilidad del 3), es decir, N·M será múltiplo de 3, por lo que N o M será múltiplo de 3, esto es, N o M tendrán que ser 3, 6 o 9. Si los números tartamudos tienen que ser múltiplos de 11, al sumar las cifras que ocupan lugar impar y restar las cifras que ocupan lugar par (criterio de divisibilidad del 11) obtenemos M o 0 si hay una cantidad impar o par de cifras respectivamente, por lo que a la fuerza M será par, es decir, 2, 4, 6 u 8. Ya podemos deducir cuáles, y por tanto cuántos, números tartamudos tenemos...
    De 2 cifras: 33, 66 y 99.
    De 4 cifras: 3333, 6666 y 9999.
    De 6 cifras: 111111, 222222, 333333, 444444, 555555, 666666, 777777, 888888 y 999999.
    De 8 cifras: 33333333, 66666666 y 99999999.
    Hay 18 números tartamudos menores que mil millones múltiplos de 33.

    Nina Guindilla ha encontrado los números tartamudos sin tartamudear...
    ¿Cuántos números tartamudos menores que un billón son múltiplos de 99?