431. SOLUCIÓN de 131. La sucesión de Fibonacci

    Como ejemplo de sucesiones recurrentes siempre recurro a la sucesión de Fibonacci, por la gran cantidad de propiedades y aplicaciones que posee. Les dejo a mis alumnos que investiguen y jueguen con ella y que "descubran" algún resultado curioso. Pepe Chapuzas ha "descubierto" lo siguiente...

    Profe mire. Si tomamos cuatro términos consecutivos, el producto de los extremos menos el producto de los medios es 1 o –1.

    ¿Ocurrirá siempre así? Si así lo crees tienes que demostrarlo...

SOLUCIÓN

    Nina Guindilla "descubrió" en Internet la siguiente propiedad de la sucesión de Fibonacci:

    La suma de 10 términos consecutivos de la sucesión de Fibonacci es siempre un múltiplo de 11.

    ¿Te atreves a demostrarlo?

    Por otro lado, Nina demostró lo que había "descubierto" Pepe de la siguiente manera...

    Mire, profe. Vamos a utilizar el método de inducción... 
    Para  n = 1  tenemos 1·3–1·2 = 1. 
    Si suponemos que el caso es cierto para  n–1 , es decir, si  a_n–1 · a_n+2 – a_n · a_n+1 = ±1 , entonces...

a_n · a_n+3 – a_n+1 · a_n+2 =

= a_n · (a_n+2 + a_n+1) – (a_n + a_n–1) · a_n+2 =

= a_n · a_n+2 + a_n · a_n+1 – a_n · a_n+2 – a_n–1 · a_n+2 =

= a_n · a_n+1 – a_n–1 · a_n+2 =

= ±1.