428. SOLUCIÓN de 128. Alfa, beta, gamma y delta

    En ningún cuaderno de Matemáticas de Pepe Chapuzas falta un alfabeto griego. Pepe lo utiliza con frecuencia como en el siguiente problema (que en realidad son tres) que se inventó, donde las letras griegas representan ángulos:

     Los 4 ángulos interiores,  a ,  b ,  g  y  d , de un cuadrilátero están en progresión geométrica y, expresados en grados, son números naturales. Calcula  a ,  b  y  d  sabiendo que  g  vale... 

    a) ... 81º.
    b) ... 90º.
    c) ... 96º.

    Calcula las soluciones "naturales". ¿Hay soluciones no "naturales"?

SOLUCIÓN

    Mire, profe. La suma de los 4 ángulos de un cuadrilátero es 360º, si R es la razón de la progresión, será a+b+g+d = (g/R²+g/R+g+g·R) = 360. Multiplicando por R² en la última igualdad nos queda este polinomio de tercer grado: gR³+(g–360)R²+gR+g=0. Vamos a buscar soluciones "naturales" en los 3 apartados:
    a) La ecuación 81R³–279R²+81R+81=0 se simplifica: 9R³–31R²+9R+9=0. 

    Si R=3 la solución "natural" es a=9º, b=27º, g=81º y d=243º.

    b) La ecuación 90R³–270R²+90R+90=0 se simplifica: R³–3R²+R+1=0. 

    Si R=1 la solución "natural" es a=b=g=d=90º: es un rectángulo (o un cuadrado).

    c) La ecuación 96R³–264R²+96R+96=0 se simplifica: 4R³–11R²+4R+4=0. 

    Si R=2 la solución "natural" es a=24º, b=48º, g=96º y d=192º.

    Las soluciones no "naturales" para el caso a) se obtendrían para estos valores de R:

    Calcula los ángulos no "naturales" para los 3 casos a), b) y c). ¿Qué significado geométrico tienen las soluciones que se obtienen con los valores negativos de R?