402. SOLUCIÓN de 102. La intuición de Pepe Chapuzas

    Habíamos dibujado en la pizarra las hipérbolas equiláteras xy = ±1 y fue fácil calcular el área del círculo tangente a las cuatro ramas de hipérbola. Entonces Pepe Chapuzas irrumpió con la siguiente cuestión:

    Profe, intuyo que todas las elipses tangentes a las cuatro ramas de hipérbola tienen la misma área. ¿Me equivoco?

    ¡Bravo por la intuición de Pepe! Demuestra que estaba en lo cierto.

SOLUCIÓN

    Nina Guindilla se dejaba guiar por la intuición, pero tenía presente que la intuición a veces engañaba... Lo primero que hizo fue calcular el área del círculo centrado en (0,0) y que pasaba por los vértices de las hipérbolas:

    Mire, profe. El vértice de la rama de hipérbola del primer cuadrante está en (1,1), que es el punto de la rama más próximo al centro (0,0), así que el radio del círculo será r = √(1²+1²) = √2 y el área del círculo será A = πr² = 2π.

    Nina probó que una elipse con ejes en los ejes coordenados (x²/a² + y²/b² = 1) y con área 2π cortaba a cada rama de hipérbola en un único punto:

    Si a y b son los semiejes de la elipse y el área A = πab = 2π, entonces b = 2/a. Por tanto, la ecuación de la elipse queda x²/a² + a²y²/4 = 1. El punto de corte con la rama de hipérbola del primer cuadrante (y = 1/x) cumplirá x²/a² + a²/x²/4 – 1 = 0, que factorizado es (x/a – a/x/2)² = 0, que es cierto para  x/a = a/x/2, es decir, (x = a/√2) y (y = √2/a). Con esto valdría...

    Pero Nina, por si las moscas, comprobó que el punto de corte era un punto de tangencia.

    Si derivamos las ecuaciones de la elipse y de la hipérbola respecto de x obtenemos sus pendientes en el punto de corte. Si es un punto de tangencia, las pendientes coincidirán... Para la elipse (x²/a² + a²y²/4)' = 2x/a² + a²yy'/2 = 0, y la pendiente valdrá y' = –4x/a⁴/y = –2/a². Para la rama de hipérbola (xy)' = y + xy' = 0 y la pendiente valdrá y' = –y/x = –2/a².

    ¿Te convence lo que ha hecho Nina? Analiza críticamente su solución...
    Nina intuye que el resultado sigue siendo válido para elipses tangentes a las cuatro ramas de dos hipérbolas conjugadas... ¿Qué opinas al respecto?