400. SOLUCIÓN de 100. ¡Vaya par de hipérbolas!

    Aquí tenemos otro dibujo del cuaderno de Pepe Chapuzas con su correspondiente cuestión...

    Sean dos hipérbolas que comparten sus asíntotas de modo que las asíntotas separan a las hipérbolas. (Esta disposición no implica que sean hipérbolas conjugadas). Y sean E y F sus excentricidades... Demuestra que  E ² + F ² = E ² F ² .

SOLUCIÓN

    Profe, mire mi dibujito... Las asíntotas son rectas secantes y determinan entre sí ángulos suplementarios: a+b=p. Las bisectrices de las asíntotas son rectas perpendiculares y son los ejes de las hipérbolas. Las asíntotas determinan con las bisectrices ángulos complementarios: a/2+b/2=p/2. Las excentricidades de las hipérbolas son las secantes de estos ángulos: E=sec(a/2) y F=sec(b/2). El prefijo "co-" de cosecante (y de coseno y de cotangente) significa complementario: la cosecante de un ángulo es la secante de su complementario, por lo que F=cosec(a/2). Así tenemos que...

E ² + F ² = sec²(a/2) + cosec²(a/2) = 1/cos²(a/2) + 1/sen²(a/2) =

= (sen²(a/2)+ cos²(a/2))/(cos²(a/2)·sen²(a/2)) = 1/(cos²(a/2)·sen²(a/2)) =

= sec²(a/2)·cosec²(a/2)) = E ² F ². 

    Si todavía no sabes lo que son hipérbolas conjugadas, busca una definición y mándamela.