355. SOLUCIÓN de 55. ¡"Menudas" potencias!

    Estaba un día en clase relatando la archiconocida leyenda del premio que recibió Susa, el inventor del ajedrez, por tan ingenioso juego. Mejor dicho, del premio que no recibió, porque este consistía en 1 grano de trigo por la primera casilla del tablero, 2 por la segunda, 4 por la tercera, 8 por la cuarta, 16 por la quinta, y así, duplicando y duplicando hasta la última casilla... Teniendo en cuenta que hay 64 casillas en el tablero, la cantidad se podría calcular con las fórmulas de las progresiones geométricas si no fuera porque salía una cantidad descomunal. ¡No había tanto trigo en el mundo...! En la pantalla de la calculadora no cabía si no era en notación científica, que no dejaba de ser una aproximación. Entonces Pepe Chapuzas irrumpió con una interesante cuestión...

    Profe, ¿se podría averiguar la última cifra de este gigantesco número sin tener que calcularlo de forma exacta? ¿Cuál sería esa misteriosa última cifra que no se puede ver ni siquiera en las calculadoras?

    No me quedó más remedio que improvisar una clase sobre la última cifra de las potencias (con números naturales). Empecé con ...0^N  = ...0, lo cual significaba que las potencias de los números que acababan en 0 también acababan en 0 como se comprobaba fácilmente. Y lo mismo le pasaba a los números ...1, ...5 y ...6. Así que propuse que investigaran cómo acababan las potencias de los números ...4, ...9, ...2, ...3, ...7 y ...8, en este orden. Al momento Pepe garabateó los grafos correspondientes al darse cuenta del comportamiento cíclico de las últimas cifras de las sucesivas potencias de un número...

    Interpreta y explica los diagramas de Pepe.
    Comprueba que no hay ningún número cuyo cuadrado acabe en 2, 3, 7 u 8.
    Comprueba que ...N = ...N⁵ = ...N⁹, es decir, que la última cifra de cualquier número coincide con la última cifra de su quinta potencia y con la última cifra de su novena potencia.
    Teniendo en cuenta lo anterior calcula la última cifra de las potencias 679⁶⁷⁹ y 537⁵³⁷.
    Calcula la última cifra del premio de Susa.

SOLUCIÓN

    Profe, mire... 
    a) Cada diagrama indica la última cifra de las sucesivas potencias de un número según su última cifra. Así, el cuadrado, el cubo, la cuarta potencia, la quinta potencia, etc. de 772
terminan en 4, 8, 6, 2, ... sucesivamente según se observa en el tercer diagrama.
    b) Observando todos los diagramas no hay ningún cuadrado que termine en 2, 3, 7 u 8: si un número termina en 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 o 9, su cuadrado terminará en 0, 1, 4, 9, 6, 5, 6, 9, 4 o 1 respectivamente.
    c) La quinta y la novena potencias son muy interesantes porque su última cifra coincide con la del número puesto que los ciclos son cadenas de 1, 2 o 4 eslabones. (Lo mismo le ocurre a la 13ª potencia, a la 17ª potencia, etc.)
    d) Con la ayuda de los diagramas tenemos que a última cifra de 679⁶⁷⁹ es 9 ya que el exponente es impar, y la última cifra 537⁵³⁷ es 7 porque el resto de dividir 537 entre 4 es 1.
    e) El premio de Susa es 1+2+4+8...+2⁶³ = (2·2⁶³ – 1):(2 – 1) = 2⁶⁴ – 1. Como 64 es múltiplo de 4, la última cifra será 6 – 1 = 5.

    ¡Muy buena la respuesta de Nina Guindilla! 
    Hay calculistas que adivinan rápidamente la raíz decimotercera (natural) de un número (natural). ¡Hay hasta concursos de calculistas! ¿Por qué la decimotercera? Investiga los trucos de estos calculistas...