341. SOLUCIÓN de 41. Triángulos pitagóricos

   Un día, como tantos otros en clase de Mates, volvió a aparecer el teorema de Pitágoras, y en particular, el triángulo pitagórico de lados 3, 4 y 5. Recordé que un triángulo rectángulo era pitagórico si los tres lados medían números naturales, y que precisamente este, el de lados 3,4 y 5, era bien conocido y utilizado en la antigüedad, porque la denominada cuerda de doce nudos se utilizaba para trazar ángulos rectos mucho antes de que naciera Pitágoras:

    Miré a Pepe Chapuzas, que siempre tiene alguna pregunta que hacer..., y no me equivoqué.

    Profe, ¿existe algún plano que determine tres triángulos pitagóricos con los planos coordenados?

    Le contesté que había infinitos y que el primero fue descubierto por un matemático alemán llamado Paul Halcke en 1719.

    Halla la ecuación canónica (o segmentaria) del plano que descubrió Halcke. Como datos te doy las hipotenusas de los tres triángulos pitagóricos.

SOLUCIÓN

    Nina Guindilla tenía una colección de triángulos pitagóricos... ¡En su colección estaban los triángulos por los que preguntaba Pepe Chapuzas! Pero no le parecía esta la mejor manera de resolver la cuestión, así que planteó un sistema de ecuaciones que resolvió por el método de reducción...

E₁ :    x² + y² = 267² =71289

E₂ :    x² + z² = 125² = 15625

E₃ :    y² + z² = 244² = 59536

E₁ + E₂ – E₃ :    2x² = 27378 ;   x = 117

E₁ + E₃ – E₂ :    2y² = 115200 ;   y = 240

E₂ + E₃ – E₁ :    2x² = 3872 ;   z = 44

   

    Profe, la ecuación del plano es      x/177 + y/240 + z/44 = 1

    Nina me enseñó su "colección" de triángulos pitagóricos... Tal "colección" era en realidad puntos en el plano. El triángulo rectángulo de catetos 3 y 4 (la cuerda de doce nudos) estaba representado por el punto de coordenadas (3,4).

    Busca en Internet cómo se pueden generar triángulos pitagóricos y haz tu propia "colección" dibujando puntos en el plano...