138. Funciones periódicas

    Había mandado estudiar la periodicidad de un par de funciones en la tarea para casa y Pepe Chapuzas salió a la pizarra para corregir el ejercicio. Como quedaba poco tiempo para que acabara la clase Pepe se dio mucha prisa. Se dio tanta prisa que dio el resultado (los períodos) sin ningún paso intermedio. Los compañeros empezaron a preguntar cómo lo había hecho pero sonó la campana...

    Echa un vistazo a la solución de Pepe e intenta explicarla.

137. Un bicho en la pizarra

    Pepe Chapuzas ha descubierto un bicho diminuto en la pizarra. Aprovechando que la pizarra es rectangular y suponiendo que el bicho fuera un punto propuse la demostración de una antigua fórmula. Con una tiza dibujé los segmentos (a, b, c y d) que unían el bicho-punto con las cuatro esquinas de la pizarra. Y luego escribí la fórmula que había que demostrar. Pepe Chapuzas, que presume de ser el más rápido a este lado del Misisipi, salió a la pizarra y con ayuda de algún segmento más dio fácilmente con la demostración. Por cierto, el bicho salió volando...

    Piénsalo. No te desanimes si no te sale enseguida. Y si te sale me lo cuentas...

136. Diez en uno

    Profe, mire. He conseguido sumar dos fracciones de números naturales (de 2 cifras y de tres cifras) y el resultado es 1. Lo mejor es que he utilizado las diez cifras (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 y 9) de la siguiente manera: (Cada letra representa una cifra distinta...)

    Busca alguna solución colocando cada cifra en su lugar y, si la encuentras, ¡dínosla! (Como pista os diré que en la solución de Pepe Chapuzas cada fracción es equivalente a 1/2).

135. Una ecuación trigonométrica

    Esta ecuación trigonométrica estaba en la última página del cuaderno de Pepe Chapuzas. Me dijo que no la había resuelto porque no tenía espacio. ¿Tienes espacio tú para resolverla?

134. Con triángulos y cuadrados

    Profe, mire. Estaba jugando con los triángulos equiláteros y los cuadrados para hacer mosaicos, ya sabe, los que tienen los lados de 5cm, y empecé a combinarlos para hacer polígonos. Entonces me pregunté cuántos polígonos diferentes habría suponiendo que...
   a) Tienen que ser convexos.
   b) Sus lados no pueden medir más de 5cm.
   c) Deben estar formados por al menos un triángulo y un cuadrado.
   Por lo que habría que descartar polígonos como los siguientes:

    El primero porque no es convexo, el segundo porque tiene lados de 10cm, y el tercero porque no tiene cuadrados. Yo he encontrado los siguientes: un pentágono, un hexágono, un heptágono, un octágono, un eneágono, un decágono y un dodecágono. ¿Habrá alguno más?

    Os propongo que investiguéis la cuestión. Respondedme con vuestras conclusiones...

133. Las troqueladoras

    Dos troqueladoras de chapa cortan cada una 3 círculos iguales de 10cm de radio. La primera a partir de una lámina triangular y la segunda a partir de una lámina hexagonal tal como se muestra en la figura. ¿Cuánta chapa desperdicia cada una de las troqueladoras?

    Este es el último reto de Pepe Chapuzas. ¡A ver si lo resuelves!

132. Infinita...mente

    A los chicos les llama la atención las "operaciones" con el infinito en los límites. En la última revisión de cuadernos vi que Pepe Chapuzas se las aprendió mediante "razonamientos" como los siguientes...

    Ocho entre infinito es cero porque si tengo que repartir ocho caramelos entre infinitos chicos no tocan a nada. 
    Ocho entre cero por la derecha es infinito porque si tengo que repartir ocho litros de perfume en frasquitos infinitésimos necesito una infinidad de ellos.

    "Razona" como Pepe las "operaciones" siguientes:  

131. La sucesión de Fibonacci

    Como ejemplo de sucesiones recurrentes siempre recurro a la sucesión de Fibonacci, por la gran cantidad de propiedades y aplicaciones que posee. Les dejo a mis alumnos que investiguen y jueguen con ella y que "descubran" algún resultado curioso. Pepe Chapuzas ha "descubierto" lo siguiente...

    Profe mire. Si tomamos cuatro términos consecutivos, el producto de los extremos menos el producto de los medios es 1 o –1.

    ¿Ocurrirá siempre así? Si así lo crees tienes que demostrarlo...

130. Los trits

    Profe, mire. Los ordenadores trabajan con el sistema binario, solo con el 0 y el 1. ¿Se podrían hacer ordenadores que funcionaran con otro sistema?

    Le comenté a Pepe Chapuzas que había prototipos experimentales que utilizaban el sistema ternario. Que si los dígitos del sistema binario eran los bits (el 0 y el 1) en el sistema ternario eran los trits (el 0, el 1 y el 2). Que si con 2 bits se podían determinar 4 posiciones, con 2 trits se podían determinar 9, como observé en el siguiente dibujo donde el primer trit indicaba la posición vertical (0=baja, 1=media, 2=alta) y el segundo la posición horizontal (0=izquierda, 1=centrada, 2=derecha). Pepe volvió a formular una pregunta interesante. La respuesta fue afirmativa y en forma de ejercicio.

    Entonces, profe, ¿con 3 trits se podrían determinar los cubitos de un cubo de Rubik, y con 4 trits se podrían determinar los cuadraditos de un sudoku?

    Define un sistema para determinar los cubitos de un cubo de Rubik con 3 trits, y otro para los cuadraditos de un sudoku con 4 trits. Con tus propios sistemas determina los cubitos y cuadraditos coloreados:

129. Estrellitas de 5 puntas

    Estábamos decorando el aula con estrellitas de 5 puntas porque se acercaba la Navidad. Las estrellitas eran irregulares por no decir chapuceras. Pepe Chapuzas hizo la siguiente observación...

    Profe, mire. Creo que la suma de los ángulos de las 5 puntas es igual para todas las estrellas...

    Comprueba que la observación de Pepe es correcta. ¿Cuánto suman los 5 ángulos?

128. Alfa, beta, gamma y delta

    En ningún cuaderno de Matemáticas de Pepe Chapuzas falta un alfabeto griego. Pepe lo utiliza con frecuencia como en el siguiente problema (que en realidad son tres) que se inventó, donde las letras griegas representan ángulos:

     Los 4 ángulos interiores,  a ,  b ,  g  y  d , de un cuadrilátero están en progresión geométrica y, expresados en grados, son números naturales. Calcula  a ,  b  y  d  sabiendo que  g  vale... 

    a) ... 81º.
    b) ... 90º.
    c) ... 96º.

    Calcula las soluciones "naturales". ¿Hay soluciones no "naturales"?

127. El cubo del príncipe Ruperto

    Uno de los juguetes favoritos de Pepe Chapuzas es el cubo de Rubik. Tiene una asombrosa habilidad (yo diría innata) para manipularlo... Hablando de cubos... Un día en clase conté la paradoja del cubo del príncipe Ruperto (que era un príncipe de verdad). Conté que se trataba en realidad de dos cubos del mismo tamaño, solo que a uno se le había horadado un túnel (con su agujero de entrada y su agujero de salida) de manera que a través de él podía pasar el otro cubo (sin forzarlos y con holgura)... Y que de hecho, los matemáticos habían logrado hacer pasar por el mismo túnel otro cubo aún mayor (de nuevo sin forzarlos y con holgura)... Mis alumnos me miraron con escepticismo. Pepe también... pero solo un rato... Al día siguiente Pepe trajo a clase un modelo en cartulina (un poco chapucero, todo hay que decirlo) para ilustrar la paradoja...

    Si tienes habilidad, infórmate de cómo se hace, fabrica un modelo, y se lo enseñas a tus compañeros...
    La misma paradoja ocurre con otros cuerpos geométricos como el tetraedro y el octaedro... Investiga el tema y nos cuentas lo que descubras...

126. Un mensaje incompleto

    Pepe Chapuzas ha enviado el siguiente mensaje electrónico a sus compañeros. (Y de paso a mí). Lo transcribo aquí para que os entretengáis un rato...

    Completa este mensaje con las cifras que faltan. (Las cantidades se escriben con cifras, no con letras).
    En este mensaje, la cifra 0 aparece ....... vez/veces, la cifra 1 aparece ....... vez/veces, la cifra 2 aparece ....... vez/veces, la cifra 3 aparece ....... vez/veces, la cifra 4 aparece ....... vez/veces, la cifra 5 aparece ....... vez/veces, la cifra 6 aparece ....... vez/veces, la cifra 7 aparece ....... vez/veces, la cifra 8 aparece ....... vez/veces y la cifra 9 aparece ....... vez/veces.

125. La cuerda y la corona...

    Estábamos repasando las fórmulas básicas de Geometría con un problema clásico. Había que calcular el área de la corona circular a partir de la longitud (1 metro) de la cuerda tangente a la circunferencia interior. Los chicos se quejaban de que faltaban datos. Pero Pepe Chapuzas dio fácilmente con la solución. Inténtalo y me cuentas tu resultado...

124. Tangencias...

    Pepe Chapuzas recurre con frecuencia a figuras con tangencias para sus retos. Este dibujo sencillo que descubrí en su cuaderno me llamó la atención. Venía acompañado, como no, de una preguntita...

    Si un círculo rojo tiene 1 metro cuadrado de área... ¿cuánto mide el área de un círculo verde?

    Responde detallando todos los pasos. Te espera un positivo...

123. Un triángulo de regalo

    Como era el cumpleaños de Pepe Chapuzas los compañeros le han "regalado" un problemilla. Pepe lo ha leído en voz alta en clase...

    Los lados de un triángulo medidos en metros son números naturales. El perímetro es de 8 metros. ¿Cuánto mide su área?

    ¡A por el área! ¡Ánimo!

122. Las cabras monteses

    En la excursión que hicimos a la sierra vimos cuatro cabras monteses encaramadas en los riscos. Entonces a Pepe Chapuzas se le ocurrió el siguiente acertijo:

    ¿Cómo habría que colocar a las cuatro cabras monteses para que las cuatro equidisten entre sí, es decir, que cada una esté a la misma distancia de las otras tres, de modo que las cuatro estén a la misma altitud sobre el nivel del mar? Hay que tener en cuenta que no pueden estar a menos de 200 metros unas de otras para que no se peleen.

    Colócalas. Y ten cuidado para que no se peleen.

121. ¿Dónde están los primos?

    Responde razonadamente a esta pregunta que ha pinchado Pepe Chapuzas en el corcho de clase:

    En el intervalo [1000000!+2, 1000000!+1000000] hay 999999 números naturales consecutivos, pero ¿cuántos números primos hay?

    ¿Cuántos crees tú que hay? Razona la respuesta.

120. Un chicle por un polinomio

    En clase se habían apostado un chicle por culpa de este polinomio. Pepe Chapuzas lo había sacado de no sé dónde y decía que se podía escribir como producto de dos polinomios con coeficientes enteros. Algunos compañeros quisieron factorizarlo con la regla de Ruffini, pero como así no salía empezaron a sospechar que Pepe les estaba tomando el pelo. La cuestión acabó en porfía y en la ya famosa apuesta del chicle. Y tú... ¿por quién tomarías partido?

    Yo apuesto por Pepe, pero... ¡ojo! ¡En clase no quiero chicles! Escribe el polinomio como producto de dos polinomios con coeficientes enteros. En vez de un chicle te llevarás un positivo...

119. La altura del monumento

    Profe, ¿ha visto lo bonito que es el nuevo monumento? Me ha dicho el escultor que las cuatro esferas son iguales, pues tienen 1m de radio, y que las cuatro son tangentes entre sí, las tres de la base apoyadas en el suelo y la de arriba apoyada en las otras tres. He calculado la altura del monumento pero no sé si está bien...

    Está claro que a Pepe Chapuzas le gustaba el nuevo monumento. A mí también, la verdad... ¿Te atreves a calcular su altura? Espero tu respuesta...

118. Vueltas y más vueltas

    Dos atletas corren en un circuito circular. Uno en sentido positivo (antihorario) y otro en sentido negativo (horario). Parten de un determinado punto del circuito, espalda contra espalda, y al cabo de media hora se cruzan en el punto diametralmente opuesto y se detienen para descansar. El primer corredor le ha dado 31 vueltas y media al circuito mientras que el segundo corredor le ha dado 34 vueltas y media. ¿Cuántas veces se han cruzado?

    Pepe Chapuzas os invita a resolver este acertijo. Explica tu respuesta y... ¡que no te maree tanta vuelta!

117. Peces de colores

    Profe, mire. En mi habitación tengo un acuario con peces de colores... ¡De los 7 colores del arco iris!
    Todos los peces menos 57 son rojos.
    Todos los peces menos 56 son naranjas.
    Todos los peces menos 53 son amarillos.
    Todos los peces menos 51 son verdes.
    Todos los peces menos 48 son azules.
    Todos los peces menos 46 son añiles.
    Todos los peces menos 43 son violetas.
    ¿Cuántos peces hay de cada color?

    Puedes contestar a Pepe Chapuzas sin plantear ningún sistema de ecuaciones. Pero si no te queda más remedio, ¡son 7 ecuaciones de 7 incógnitas...!

116. El desierto de 8 jornadas

    Aquí os transcribo este ejercicio que tenía planteado Pepe Chapuzas en su cuaderno. Resuélvelo y explica el resultado.

    Nadie había podido "vencer" a aquel terrible desierto, esto es, nadie había conseguido cruzarlo a pie. Se necesitarían 8 jornadas para atravesarlo (por eso se llamaba así) mientras que una persona solo podía llevar encima alimento y bebida para 5 jornadas. Sin embargo, y a pesar de las dificultades, un grupo de exploradores partió de A y consiguió "vencer" al desierto de 8 jornadas. ¿Cómo lo consiguieron? ¿Cuántos exploradores había como mínimo?

115. ¿Qué día es hoy?

    En todos los exámenes, para rellenar los datos, Pepe Chapuzas siempre pregunta la fecha. ¡Así de despistado es...! Para que no volviera a preguntarla le encargué que hiciera dos dados grandes para ponerlos en una estantería del aula. Los dados debían estar numerados de modo que pudieran mostrar todos los posibles días de un mes, del 01 al 31. Además sería el propio Pepe el encargado de mover los dados cada mañana...

   Pepe construyó dos bonitos dados de contrachapado. ¿Sabrías decirnos qué números tenía cada dado?

114. Las pelotas saltarinas.

    A alguien se le escapó una pelota saltarina en clase. Como curiosamente no era de nadie, quedó confiscada... Entonces propuse un ejercicio y comenté que el primero en resolverlo se quedaría con la pelota saltarina. Dicté el enunciado para que los chicos lo copiaran en sus cuadernos...

    El centro de gravedad de una pelota saltarina recorre una trayectoria parabólica. La parábola pasa por los puntos (–6,0), (0,18) y (6,0). En el punto (0,9) se encuentra el centro de gravedad de otra pelota saltarina misteriosamente inmóvil. ¿Cuál es la distancia mínima que hubo entre las pelotas saltarinas si ambas tienen de diámetro 1? (Todas las cantidades están expresadas en centímetros.)

    Fue Pepe Chapuzas el que rescató la pelota. ¿La podrías haber rescatado tú?

113. Una araña en el salón

    El salón de mi casa es un ortoedro. La planta es un rectángulo de 5m por 4m. El salón tiene una altura de 3m. Una araña se aloja en el vértice A del salón, que está en el suelo, y quiere mudarse al vértice opuesto B, que está en el techo. ¿Cuál es el camino más corto?

    Recuerda que las arañas no vuelan. Resuelve este reto de Pepe Chapuzas. Espero tu respuesta.

112. Dominé, dominaste, dominó...

    Los juegos de mesa, gracias a su familiaridad, dan "mucho juego" para explicar Matemáticas. Pepe Chapuzas explota estas herramientas en sus ya famosos retos... Este es un bonito ejemplo...

   Profe, mire. Tengo un tablero de 8 x 7 = 56 casillas cuadradas, y un juego de dominó de 28 fichas. Las dimensiones del tablero y de las fichas son tales que una ficha del dominó ocupa justamente dos casillas del tablero. Hay muchas formas de cubrir completamente el tablero con las fichas. En el dibujo se muestra una (las fichas están boca abajo)... La cuestión es la siguiente: ¿se puede cubrir un tablero de 54 casillas como el de la siguiente figura (se han quitado dos esquinas al anterior) con 27 fichas del dominó? Yo no lo he conseguido todavía...

    ¿Tú qué opinas? Razona la respuesta. (Por supuesto, no se puede partir ninguna ficha del dominó).

111. A la hora de comer

    Profe, mire. En casa son muy estrictos con el horario de la comida. Siempre se come entre las 2 y las 3. No se puede empezar hasta que las agujas del reloj del comedor (un reloj clásico de dos agujas) no estén justo una encima de la otra, y hay que terminar antes de que las agujas apunten en sentidos contrarios...

    ¡En casa de Pepe Chapuzas tienen que darse prisa para comer...!
    Expresa en horas, minutos y segundos el inicio y el final del período de la comida.
    ¿De cuánto tiempo disponen para comer?

110. Pescando fracciones unitarias

    Profe, mire. Podemos escribir la fracción unitaria 1/6 como suma de dos fracciones unitarias iguales: 1/6 = 1/12 + 1/12. Pero... ¿de cuántas formas se podría escribir 1/6 como suma de dos fracciones unitarias diferentes, es decir, 1/6 = 1/m + 1/n con números naturales m y n diferentes? (Para simplificar podemos suponer que m > n). Ya he pescado algunas soluciones pero no sé si las tengo todas...

    Os propongo esta duda de Pepe Chapuzas como ejercicio. Encuentra (o pesca) todas las soluciones.
    Además, calcula, para cualquier fracción unitaria 1/k, el mayor valor de m y el menor valor de n para que 1/k = 1/m + 1/n. (Con k, m y n números naturales, por supuesto).

109. Una progresión imaginaria

    Pepe Chapuzas tiene un truco para asimilar conceptos: mezcla los temas. En este reto que acaba de proponer en clase enlaza los números complejos y las progresiones:

    El producto de nueve números complejos que están en progresión geométrica es i. Calcula el término quinto de dicha progresión.

    Hay varias soluciones. Encuéntralas todas en forma polar.

    Se pueden definir muchas sucesiones de forma recursiva, es decir, determinando cada término en función de uno o varios términos anteriores. En forma recursiva las progresiones geométricas se escribirían (a_n+1 = a_n · k) y las progresiones aritméticas serían (a_n+1 = a_n + k). Mandelbrot estudió las sucesiones en forma recursiva (a_n+1 = a_n² + k) y descubrió uno de los conjuntos complejos (en el doble sentido de la palabra) más fascinantes de las Matemáticas. Si quieres echarle un vistazo disfruta el siguiente video en pantalla completa:

    (Si así no lo puedes ver, pincha en el siguiente enlace, ODISEA MANDELBROT, de YouTube).

108. "Simplifichapuzas"

    Un día llegué a clase y encontré a Pepe Chapuzas haciendo una parodia del profe de Mates. ;-)

    Hoy vamos a explicar lo que es una simplifichapuza. Una simplifichapuza es una simplificación de una fracción de números naturales en la que, a pesar de ser el resultado correcto, en el examen se saca un rosco perfecto... Aquí tenéis un buen ejemplo:

    Cuando se dieron cuenta de mi presencia estaban todos en plena carcajada...

    Busca otra "simplifichapuza" y si la encuentras me la envías. Nos vemos.

107. En caída libre

    Pillé a Pepe Chapuzas tirando canicas desde la ventana del aula. Para intentar evitar mi regañina (cosa que no logró) se excusó diciendo que no las estaba tirando, que las estaba dejando caer; que no había nadie en el patio en ese momento; que se trataba de un experimento... Al final se disculpó para evitar el parte de disciplina y el castigo (cosas que tampoco logró). Tuvo que copiar no sé cuantas veces "no se tiran objetos por la ventana" y limpiar el patio... Al día siguiente se disculpó de nuevo en forma de problema. ¡Originalidad no le falta a Pepe precisamente!

    Ayer estaba dejando caer canicas desde la ventana, de lo cual me arrepiento sinceramente, pero antes de que llegara el profe pude comprobar que las canicas tardaban 1 segundo en recorrer la segunda mitad de su trayectoria. ¿Me puede decir alguien desde qué altura dejaba caer las canicas?

106. Los "perisógonos"

    A Pepe Chapuzas le gusta inventarse términos matemáticos uniendo alegremente raíces griegas. Su última acuñación chapucera es el vocablo "perisógono". Un "perisógono" para Pepe es un polígono que tiene un número impar de lados (y de ángulos obviamente). El siguiente reto va de "perisógonos".

    Los ángulos interiores de cierto "perisógono" son todos diferentes pero se tiene que, ordenados de menor a mayor (o de mayor a menor), están en progresión aritmética. Como hay un número impar de términos en esta progresión hay uno que ocupa el lugar central, y resulta que es un ángulo de 172º. ¿Cuántos lados tiene este "perisógono"?

105. La gran suma

    Pepe Chapuzas había resuelto un sudoku en medio recreo. En el otro medio recreo calculó la suma de todos los números naturales de 9 cifras que se pueden formar con las 9 cifras (las 9 diferentes) del sudoku (el 0 no se utiliza). Cuando empezó la clase de Mates lo propuso como reto...
    Hay un positivo para quien lo resuelva.

104. El camino más corto

    Para Pepe Chapuzas cualquier tema se convierte en excusa para plantear un problema.

    Profe, mire. Para llegar al insti la gente ataja por el césped y se ha formado una veredita... ¡Si no les hubieran dicho que el camino más corto es en línea recta...! A propósito de caminos... Mire este problema de Combinatoria. Hay infinitas maneras de llegar de "a" a "b", pero... ¿cuántos caminos de 100 metros hay sin pisar el césped?

103. Dos millardos de segundos...

    Profe, mire. En Inglés nos pusieron un texto en el que aparecía "one billion" y todos lo tradujimos mal. Resulta que no es un billón sino mil millones... Y un billón es "one trillion" en inglés...

    Pepe Chapuzas había tropezado con falsos amigos. ¡Hay falsos amigos hasta en los numerales...! Comenté que un millardo era un numeral castellano poco utilizado que equivalía a "one billion", es decir, a mil millones. Y que esas cantidades tan grandes eran difíciles de imaginar y que a veces se necesita realizar un cambio de unidades para entenderlas. Entonces Pepe me preguntó con cierta falta de discreción por mi edad. Bueno..., para ser exactos me dijo si ya había cumplido un millardo de segundos. Yo le contesté (mentí) que acababa de cumplir dos millardos de segundos ... ¿Cuántos años se supone que tendría si mi respuesta hubiera sido verdadera?

102. La intuición de Pepe Chapuzas

    Habíamos dibujado en la pizarra las hipérbolas equiláteras xy = ±1 y fue fácil calcular el área del círculo tangente a las cuatro ramas de hipérbola. Entonces Pepe Chapuzas irrumpió con la siguiente cuestión:

    Profe, intuyo que todas las elipses tangentes a las cuatro ramas de hipérbola tienen la misma área. ¿Me equivoco?

    ¡Bravo por la intuición de Pepe! Demuestra que estaba en lo cierto.

101. Un director contento...

    Mandé buscar a los chicos "paradojas" matemáticas para exponerlas luego en clase. Por "paradoja" me refería a problemas con resultados aparentemente contradictorios o al menos sorprendentes. Pepe Chapuzas expuso la siguiente "paradoja" que encontró en Internet...

    En aquel instituto, había dos grupos de primero. 1ºA era un grupo de 10 alumnos conflictivos. Los 10 sacaron un 4 en Matemáticas: (4 4 4 4 4 4 4 4 4 4). La nota media del grupo era un 4, claro... En el otro grupo, 1ºB, había 20 alumnos majos. 10 de ellos sacaron un 6 en Matemáticas y los otros 10 sacaron un 8. Veamos: (6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8). La nota media en este grupo era un poco más difícil de calcular: un 7... Al director no le gustaban estos resultados así que se le ocurrió una idea genial: matriculó en 1ºA a los alumnos que sacaron un 6 en Matemáticas... Las notas de 1ºA eran ahora (4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6), es decir, un 5 de media. Y las notas de 1ºB quedaron así (8 8 8 8 8 8 8 8 8 8), con un 8 de media, evidentemente... ¡Las medias de ambos grupos aumentaron en 1 punto! Ahora el director estaba contento por fin...

    Busca una "paradoja" y mándame un borrador para exponerla después en clase.