65. Los números escalera

    Profe, en Informática nos han hablado del sistema de numeración binaria, ya sabe: el 0 y el 1, los bits... Nos dijeron que era un sistema posicional porque el valor del 1 dependía de su posición. El 1 podía tomar los valores de la llamada progresión binaria: 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64.... Pero cuando llegamos a los prefijos para los múltiplos, o sea, a los megas, los gigas, los teras..., resulta que no son potencias de 10 sino de 2. ¡Un kilogramo son 1000 (=10³) gramos pero un kilobit son 1024 (=2¹⁰) bits! ¿Qué chapuza es esta de utilizar los mismos prefijos para distintas cantidades?

    A Pepe Chapuzas le extrañó, y con toda razón, esta imprecisión. Le contesté que cuando quisieron poner orden en este asunto era demasiado tarde, pues se crearon unos prefijos propios para el sistema binario (kibi, mebi, gibi, tebi, pebi...) que no cuajaron porque los prefijos decimales (kilo, mega, giga, tera, peta...) eran ya demasiado populares.
    En esto le propuse a Pepe que me demostrara que los términos de la progresión binaria 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64... eran los únicos números naturales que no se podían obtener como suma de números naturales consecutivos, como por ejemplo el 15 = 4 + 5 + 6 = 7 + 8... Pepe me enseñó un dibujo.

    Profe, mire. El 15 es un número escalera:

     Al día siguiente Pepe me enseñó más dibujos que representaban una cadena de demostraciones:

    Profe, mire. He demostrado primero que si en la suma de números naturales consecutivos hay una cantidad impar de sumandos entonces la suma es un múltiplo de un impar distinto de 1, y si hay una cantidad par de sumandos entonces también la suma es un múltiplo de un impar distinto de 1, con lo que demuestro que los términos de la sucesión binaria no son números escalera porque no tienen divisores impares distintos de 1. Mire los dibujos:

    Después demostré que si un número natural N tiene un divisor impar K distinto de 1 y si K² < 2N entonces N es suma de K números naturales consecutivos, pero si K² > 2N entonces N es suma de 2N:K números naturales consecutivos, por lo tanto los números de la progresión binaria son los únicos naturales que no son números escalera.

    Intenta rehacer las demostraciones de Pepe Chapuzas siguiendo sus indicaciones y con ayuda de sus dibujos.